Calcule as seguintes integrais impróprias, caso sejam convergentes:
integral-2^-1 d xx raizx^2-1

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
que envolve verificar a convergência no ponto e usar primitiva de funções inversas (no caso ).

Passo 2

Identificamos que o único ponto de descontinuidade no intervalo é x=-1, onde raizx^2-1=0. Para estudar a convergência, aproximamos para xto-1^-:
1xraizx^2-1 sim -1raiz2(x+1),
cujo comportamento em (x+1)^-1/2 é integrável. Logo, a integral converge.

Passo 3

Buscamos uma primitiva de . Recordando que para vale
no ramo temos , então
Portanto uma primitiva é

Passo 4

Usamos no limite impróprio:
Como e , obtemos
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Resposta

-pi3

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