Calcule as seguintes integrais impróprias, caso sejam convergentes:
integral0^1 3 x^2+2raiz[3]x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
integral0^1 3x^2+2raiz[3]x^2,dx
Aqui o ponto x=0 é singular, pois raiz[3]x^2=x^2/3 anula-se em 0. Vamos (1) reescrever o integrando em potências de x, (2) verificar se cada termo converge em 0, e (3) calcular a integral propriamente dita.

Passo 2

Reescrevendo o integrando usando potências, temos
3x^2+2raiz[3]x^2 =(3x^2+2),x^-2/3 =3,x^2-2/3+2,x^-2/3 =3,x^4/3+2,x^-2/3

Passo 3

Para ver se a integral converge em 0, usamos que uma integral do tipo integral0^1x^alpha,dx converge se, e somente se, alpha>-1.
  • No termo 3x^4/3, o expoente é 4/3>-1, logo esse pedaço é integrável em 0.
  • No termo 2x^-2/3, o expoente é -2/3>-1, então também converte.
    Como ambos os termos passam no teste, a integral total converge.

Passo 4

Agora achamos uma antiderivada de cada termo:
integral 3,x^4/3,dx =3cdotx^4/3+14/3+1 =3cdotx^7/37/3 =97,x^7/3,
integral 2,x^-2/3,dx =2cdotx^-2/3+1-2/3+1 =2cdotx^1/31/3 =6,x^1/3
Portanto, uma primitiva é
F(x)=97,x^7/3+6,x^1/3

Passo 5

Avaliaremos F(x) de 0 a 1:
integral0^13x^2+2raiz[3]x^2,dx =F(1)-F(0) =l(tfrac97cdot1^7/3+6cdot1^1/3r) -l(tfrac97cdot0+6cdot0r) =97+6
Somando em forma de fração:
97+6=9+427=517

Resposta

A integral converge e vale 517.

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