Calcule as seguintes integrais impróprias, caso sejam convergentes:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral imprópria
Aqui o ponto
é singular, pois
anula-se em
. Vamos (1) reescrever o integrando em potências de
, (2) verificar se cada termo converge em
, e (3) calcular a integral propriamente dita.
Passo 2
Reescrevendo o integrando usando potências, temos
Passo 3
Para ver se a integral converge em
, usamos que uma integral do tipo
converge se, e somente se,
.
- No termo
, o expoente é , logo esse pedaço é integrável em . - No termo
, o expoente é , então também converte.
Como ambos os termos passam no teste, a integral total converge.
Passo 4
Agora achamos uma antiderivada de cada termo:
Portanto, uma primitiva é
Passo 5
Avaliaremos
de
a
:
Somando em forma de fração:
Resposta
A integral converge e vale
.