Determine se as sequências são convergentes ou divergentes. Caso sejam convergentes, encontre o seu limite.
n+12 n-1

Passo 1

O enunciado pede para a sequência
an = n+12n-1
que determinemos se é convergente ou divergente e, se convergente, achemos o seu limite. O conteúdo é limites de sequências racionais (razão de polinômios).

Passo 2

Como numerador e denominador são ambos polinômios de mesmo grau (grau 1), a intuição é que
o limite quando ntoinfty seja a razão dos coeficientes líderes, ou seja tfrac12.
Para ver isso com rigor, dividimos numerador e denominador por n.

Passo 3

Dividindo por n obtemos
n+12n-1 = nl(1 + tfrac1nr)nl(2 - tfrac1nr) = 1 + tfrac1n2 - tfrac1n

Passo 4

Ao fazermos ntoinfty, temos tfrac1nto0. Logo,
limntoinftyan = limntoinfty1 + tfrac1n2 - tfrac1n = 1+02-0 = tfrac12
Isso mostra que a sequência convergente e seu limite é tfrac12.

Resposta

A sequência converge e
limntoinftyn+12n-1 = tfrac12

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