Verifique, em cada item, se a sequência dada é crescente, não decrescente, decrescente, não crescente ou não monótona.
n^nn!

Passo 1

O enunciado pede para classificar a sequência
an = n^nn!
quanto à monotonicidade (crescente, não decrescente, decrescente, não crescente ou não monótona). Como an>0 para todo n, uma forma padrão é estudar o quociente
an+1an

Passo 2

Calculemos
an+1an = (n+1)^,n+1(n+1)!n^nn! = (n+1)^,n+1(n+1),n^n = (n+1)^nn^n = l(1+1nr)^n

Passo 3

Para todo n>=1 vale
1+1n>1 Longrightarrow l(1+tfrac1nr)^n>1,
pois elevar um número maior que 1 a uma potência positiva produz resultado maior que 1. Logo
an+1an>1 Longrightarrow an+1>an
para todo n>=1.

Passo 4

Como an+1>an em todos os pontos, a sequência é estritamente crescente.

Resposta

A sequência n^n/n! é crescente (estritamente crescente).

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