Calcule as seguintes integrais impróprias, caso sejam convergentes:
integral-infty^1 d x(2 x-3)^2

Passo 1

Estamos calculando a integral imprópria
integral-infty^1dx(2x-3)^2
O único ponto de atenção é que o limite inferior é -infty. Note que o integrando tfrac1(2x-3)^2 é contínuo em todo (-infty,1], já que a descontinuidade em x=tfrac32 fica fora do intervalo. Logo, só precisamos tratar o comportamento em xto -infty.

Passo 2

Vamos achar uma primitiva de
1(2x-3)^2.
Faça a substituição
u = 2x - 3, du = 2,dx Longrightarrow dx = du2
Então
integral dx(2x-3)^2 = integral 1u^2cdotdu2 = 12integral u^-2du = 12l(-u^-1r)+C = -12(2x-3)+C

Passo 3

Escrevemos a integral como limite
integral-infty^1dx(2x-3)^2 = limAto-inftyintegralA^1dx(2x-3)^2 = limAto-inftyl[-12(2x-3)r]x=A^x=1
Avalia em x=1:
-12(2cdot1-3) =-12(-1) =12
Em x=A:
-12(2A-3) ;xrightarrow[Ato -infty];0
Logo
integral-infty^1dx(2x-3)^2 =limAto-inftyl(tfrac12 - 0r) =12

Resposta

A integral converge e vale 12.

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