lim theta 0 cos theta-1e^theta-theta-1

Passo 1

O enunciado pede o valor de
limthetato 0costheta - 1e^theta - theta - 1
Este é um problema de limites envolvendo forma indeterminada 0/0. Para resolvê‐lo, vamos usar séries de Taylor (expansões em torno de theta=0).

Passo 2

Verificamos a forma substituindo theta=0:
cos0-1 = 1-1=0 e
e^0 - 0 -1 =1-0-1=0.
Logo temos 0/0 e podemos aplicar expansão em séries de Taylor.

Passo 3

As séries de Taylor em torno de theta=0 são:
costheta = 1 - theta^22 + theta^424 + cdots
e^theta = 1 + theta + theta^22 + theta^36 + cdots

Passo 4

Usando essas expansões no numerador e no denominador:
numerador:
costheta - 1 = l(1 - theta^22 + theta^424 + cdotsr) - 1 = -theta^22 + theta^424 + cdots
denominador:
e^theta - theta - 1 = l(1 + theta + theta^22 + theta^36 + cdotsr) - theta - 1 = theta^22 + theta^36 + cdots

Passo 5

Colocando em evidência theta^2 em ambos:
costheta - 1e^theta - theta - 1 = -theta^22 + O(theta^4)theta^22 + O(theta^3) = theta^2l(-tfrac12 + O(theta^2)r)theta^2l(tfrac12 + O(theta)r) longrightarrow -tfrac12tfrac12 = -1

Resposta

-1

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