(a) Resolva a integral imprópria
integral0^infty t e^-S t d t
sendo S uma constante. A integral é convergente?
(b) Sabendo-se que o tempo médio de vida útil T de um determinado tipo de chip de computador é dado por
T=0,00005 integral0^infty t e^-0,00005 t d t
onde t >= 0 e medido em horas. Determine o valor de T.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
integral0^infty t,e^-S t,dt
e verificar sua convergência em função da constante S. Em seguida, devemos usar esse resultado para obter o tempo médio de vida T de um chip, dado por
T = 0,00005 integral0^infty t,e^-0,00005,t,dt
O conteúdo usado será integração por partes e condições de convergência de integrais impróprias.

Passo 2

Para calcular
I = integral0^infty t,e^-S t,dt,
fazemos integração por partes, escolhendo
u = t e dv = e^-S t,dt. Então
du = dt, v = integral e^-S t,dt = -1S,e^-S t
Aplicando a fórmula integral u,dv = uv - integral v,du, temos
I = l[-tS,e^-S tr]0^infty - integral0^infty l(-1S,e^-S tr),dt

Passo 3

Analisando o termo de fronteira,
limttoinfty tSe^-S t = 0 (pois e^-S t decresce mais rápido que t cresce, se S>0), á
e no limite inferior esse termo vale zero. Logo
I = 0 + 1S integral0^infty e^-S t,dt = 1S ,l[,-1S,e^-S tr]0^infty = 1S,l(0 - l(-tfrac1Sr)r) = 1S^2
Portanto, a integral converge exatamente se S>0 e seu valor é
integral0^infty t,e^-S t,dt = 1S^2

Passo 4

No item (b) temos S = 0,00005. Assim,
T = 0,00005 integral0^infty t,e^-0,00005,t,dt = 0,00005 cdot 1(0,00005)^2 = 0,00005(0,00005)^2 = 10,00005 = 20000

Resposta

(a) A integral converge para S>0 e vale 1S^2
(b) O tempo médio de vida é T = 20000 horas.

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