Calcule as seguintes integrais impróprias, caso sejam convergentes:
integral0^1 d x(1-x^3)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
integral0^1 dx1-x^3.
Repare que em x=1 o denominador (1-x^3) zera, caracterizando uma descontinuidade no extremo do intervalo. Vamos usar decomposição em frações parciais para estudar o comportamento perto de x=1 e testar a convergência.

Passo 2

Fazemos a decomposição
11 - x^3 = A1 - x + B x + C1 + x + x^2
Igualando numeradores em 1 = A(1+x+x^2) + (B x + C)(1 - x) e resolvendo, obtém-se
A = tfrac13, B = tfrac13, C = tfrac23
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11 - x^3 = 13,11 - x + tfrac13x + tfrac231 + x + x^2

Passo 3

Para b<1, a integral até b é
integral0^bdx1-x^3 = 13integral0^bdx1 - x + integral0^btfrac13x + tfrac231 + x + x^2,dx
A primeira parte dá
13integral0^bdx1 - x = -13,lnl(1 - br),
que tende a +infty quando bto1^-. A segunda integral permanece finita em b=1.

Passo 4

Como o termo -tfrac13ln(1-b) diverge para +infty ao aproximar b de 1, a integral imprópria não converge.

Resposta

A integral diverge (não é convergente).

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