Calcule f^prime(p), pela definição, sendo dados
f(x)=raizx e p=2

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=raizx
e pede a derivada de f em p=2 calculada pela definição, ou seja
f'(2)=limhto0f(2+h)-f(2)h
Para resolver, vamos usar a definição de derivada como limite do quociente das diferenças e a técnica de racionais conjugados para simplificar.

Passo 2

Escrevemos o quociente de diferença em termos de h:
f(2+h)-f(2)h =raiz2+h-raiz2h

Passo 3

Para poder avaliar o limite quando hto0, racionalizamos o numerador multiplicando e dividindo pelo conjugado raiz2+h+raiz2:
raiz2+h-raiz2h cdot raiz2+h+raiz2raiz2+h+raiz2 = (raiz2+h)^2-(raiz2)^2hl(raiz2+h+raiz2r)

Passo 4

No numerador, (raiz2+h)^2-(raiz2)^2=(2+h)-2=h. Logo o quociente fica
hhl(raiz2+h+raiz2r) =1raiz2+h+raiz2
Agora podemos aplicar o limite:
limhto01raiz2+h+raiz2 =1raiz2+raiz2 =12raiz2

Resposta

f'(2)=12raiz2

Exercícios relacionados