Calcule as seguintes integrais impróprias, caso sejam convergentes:
integral0^2pi 1x^2 sen(1x) d x

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência e, se for o caso, calcular a integral imprópria
integral0^2pi 1x^2senl(1xr),dx
Temos singularidade em x=0 e função oscilante devido a sen(1/x). Uma técnica clássica é fazer a substituição t=1/x.

Passo 2

Fazendo t=1x temos dt=-1x^2,dx, portanto
1x^2,dx=-,dt
Quando xto0^+ então tto+infty, e quando x=tfrac2pi então t=pi2. Logo
integral0^2pi 1x^2senl(tfrac1xr),dx =integral+infty^pi2sen(t),(-dt) =integralpi2^+inftysen(t),dt

Passo 3

Calculemos
integralpi2^Bsen(t),dt =l[-cos(t)r]t=pi2^t=B =-cos(B)+cosl(tfracpi2r) =-cos(B)
Ao deixar Bto+infty, o termo -cos(B) não tende a nenhum valor finito (oscila entre -1 e 1). Portanto a integral imprópria não converge.

Resposta

A integral diverge (não converge).

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