Determine se as sequências são convergentes ou divergentes. Caso sejam convergentes, encontre o seu limite.
ln nn^2

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da sequência
an = ln nn^2
ou seja, verificar se existe
limntoinftyan
e, em caso afirmativo, descobrir esse valor. O conteúdo é limite de sequências, e vamos precisar comparar o crescimento de ln n com o de n^2.

Passo 2

Para mostrar que
limntoinftyln nn^2
existe e achá-lo, é comum usar o fato de que, para funções positivas e crescentes, o limite da sequência coincide com o limite da função contínua correspondente. Assim, consideramos
limxtoinfty ln xx^2,,
que é uma forma infty/infty, permitindo o uso da regra de L’Hôpital.

Passo 3

Aplicando L’Hôpital, derivamos numerador e denominador em relação a x:
– derivada de ln x é tfrac1x,
– derivada de x^2 é 2x.
Logo
limxtoinfty ln xx^2 = limxtoinfty tfrac1x2x = limxtoinfty 12x^2 = 0

Passo 4

Como
limxtoinftyln xx^2=0, segue que
limntoinftyan=0. Isto mostra que a sequência converge e seu limite é 0.

Resposta

A sequência converge e
limntoinftyln nn^2=0

Exercícios relacionados