Determine se as sequências são convergentes ou divergentes. Caso sejam convergentes, encontre o seu limite.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da sequência
ou seja, verificar se existe
e, em caso afirmativo, descobrir esse valor. O conteúdo é limite de sequências, e vamos precisar comparar o crescimento de com o de
.
e, em caso afirmativo, descobrir esse valor. O conteúdo é limite de sequências, e vamos precisar comparar o crescimento de
Passo 2
Para mostrar que
existe e achá-lo, é comum usar o fato de que, para funções positivas e crescentes, o limite da sequência coincide com o limite da função contínua correspondente. Assim, consideramos
existe e achá-lo, é comum usar o fato de que, para funções positivas e crescentes, o limite da sequência coincide com o limite da função contínua correspondente. Assim, consideramos
que é uma forma
, permitindo o uso da regra de L’Hôpital.
Passo 3
Aplicando L’Hôpital, derivamos numerador e denominador em relação a
:
– derivada de é
,
– derivada de é
.
Logo
– derivada de
– derivada de
Logo
Passo 4
Como
, segue que
. Isto mostra que a sequência converge e seu limite é
.
Resposta
A sequência converge e