Calcule as seguintes integrais impróprias, caso sejam convergentes:
integral0^1 cos (x^13)x^23 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral0^1cosl(x^1/3r)x^2/3,dx
O único problema é em x=0, onde x^-2/3 diverge. Vamos usar uma mudança de variável para tratar a singularidade.

Passo 2

Para verificar a convergência, notamos que, quando xto0,
cosl(x^1/3r)approx1, logo o integrando se comporta como x^-2/3. Como
integral0^ax^-2/3,dx
converge (pois o expoente -tfrac23>-1), a integral original também converge.

Passo 3

Fazemos a substituição
t = x^1/3, x = t^3, dx = 3t^2,dt, x^2/3=t^2,
com limites x=0Rightarrow t=0 e x=1Rightarrow t=1.

Passo 4

Substituindo na integral, obtemos
integral0^1cosl(x^1/3r)x^2/3,dx = integral0^1cos tt^2,l(3t^2,dtr) =3integral0^1cos t,dt

Passo 5

Calculamos a integral de cos t:
integral0^1cos t,dt =l[sin tr]0^1 =sin(1)-sin(0) =sin(1)
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3integral0^1cos t,dt = 3sin(1)

Resposta

integral0^1cosl(x^1/3r)x^2/3,dx = 3sin(1)

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