Calcule as seguintes integrais impróprias, caso sejam convergentes:
integral0^4 d xraiz16-x^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
integral0^4 dxraiz16 - x^2
que apresenta singularidade no ponto x=4 (o denominador zera). O conteúdo principal é integral imprópria e uso de primitiva de 1raiza^2-x^2, que envolve arco seno.

Passo 2

Para verificar a convergência em x=4, examinamos o comportamento do integrando quando xto4^-. Escrevendo x=4-varepsilon com varepsilonto0^+, temos
raiz16 - x^2 =raiz16 - (4-varepsilon)^2 =raiz8varepsilon - varepsilon^2 sim raiz8varepsilon,,
então
1raiz16 - x^2 sim 1raiz8varepsilon propto varepsilon^-tfrac12
Como integral0^de<avarepsilon^-1/2dvarepsilon converge, nossa integral imprópria também converge.

Passo 3

A primitiva de 1raiz16 - x^2 é bem conhecida (ou obtida por substituição trigonométrica x=4sintheta). Tem-se
integral dxraiz16 - x^2 = arcsin!l(tfracx4r) + C

Passo 4

Escrevemos a integral imprópria como limite e aplicamos a primitiva:
integral0^4 dxraiz16 - x^2 = limbto4^-l[arcsin!l(tfracx4r)r]0^b = limbto4^-l(arcsin(tfracb4) - arcsin(0)r)
Como arcsin(0)=0 e limbto4^-arcsin(tfracb4)=arcsin(1)=tfracpi2, o valor da integral é tfracpi2.

Resposta

pi2

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