Calcule as seguintes integrais impróprias, caso sejam convergentes:
integral1^+infty d xraiz[3]x^2

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular a integral imprópria
integral1^+infty dxraiz[3]x^2
ou seja
integral1^+infty x^-tfrac23,dx
O conteúdo envolvido é o estudo de convergência de integrais do tipo
integral1^+infty x^-p,dx,
onde sabemos que converge se, e somente se, p>1. Aqui temos p=tfrac23<1, mas vamos calcular formalmente.

Passo 2

Escrevemos a integral imprópria como limite
I = limbto+infty integral1^b x^-tfrac23,dx

Passo 3

Calculamos a primitiva de x^-tfrac23. Como
integral x^-tfrac23,dx = x^-tfrac23+1-tfrac23+1 = x^tfrac13tfrac13 = 3,x^tfrac13,
temos
integral1^b x^-tfrac23,dx = l[3,x^tfrac13r]1^b = 3,b^tfrac13 - 3cdot1^tfrac13 = 3,b^tfrac13 - 3

Passo 4

Agora aplicamos o limite bto+infty:
I = limbto+infty l(3,b^tfrac13 - 3r) = +infty
Como o limite diverge, a integral não converge.

Resposta

A integral é divergente; não há valor finito para
integral1^+inftydxraiz[3]x^2.

Exercícios relacionados