Determine se as sequências são convergentes ou divergentes. Caso sejam convergentes, encontre o seu limite.
e^nn

Passo 1

O enunciado pede para analisar a sequência
an = e^nn
e decidir se ela converge ou diverge. Se convergir, devemos encontrar limntoinftyan. O conteúdo envolvido é estudo de sequências e seus limites, em particular comparação de crescimento entre funções exponencial e polinomial.

Passo 2

Para entender o comportamento de an, considere o logaritmo natural de an:
bn = ln(an) = lnl(e^n/nr) = n - ln n
Quando ntoinfty, o termo n cresce sem limite e domina ln n. Logo
limntoinfty bn = limntoinftyl(n - ln nr) = +infty
Como an = e^,bn, concluímos que anto e^+infty=+infty.

Passo 3

Como verificação alternativa, aplique o teste da razão entre termos consecutivos:
an+1an = e^n+1n+1e^nn = ecdotn,n+1, ;xrightarrow[ntoinfty];e>1
Uma razão limite maior que 1 implica que an cresce sem limite, ou seja, diverge para +infty.

Resposta

A sequência diverge e seu “limite” é +infty.

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