Calcule as seguintes integrais impróprias, caso sejam convergentes:
integral0^+infty x^31+x^4 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
integral0^+infty x^31+x^4,dx
que envolve checar convergência em 0 e em +infty. O conteúdo aqui é teste de convergência de integrais impróprias e, se convergir, cálculo da primitiva.

Passo 2

Verificamos a vizinhança de x=0. Para xto0,
x^31+x^4sim x^3,
e sabemos que
integral0^1x^3,dx
é convergente (é um caso p-integral com p=3>1). Logo não há problema no limite inferior.

Passo 3

Agora analisamos xto+infty. Para x grande,
x^31+x^4sim x^3x^4=1x
E a integral
integral1^+infty1x,dx
é divergente, pois diverge logaritmicamente. Portanto a integral original diverge por comportamento assintótico em +infty.

Passo 4

Podemos também ver que uma primitiva é
integral x^31+x^4,dx =14lnl(1+x^4r)+C,
e ao avaliar de 0 a R obtemos
14ln(1+R^4)-14ln(1+0)to+infty quando Rto+infty

Resposta

A integral
integral0^+inftyx^31+x^4,dx
é divergente.

Exercícios relacionados