lim x 1^-(1x-1-1ln x)

Passo 1

O enunciado pede
limxto1^-l(1x-1-1ln xr)
Estamos diante de uma forma do tipo infty-infty quando xto1, e vamos usar a expansão em série de Taylor de ln x em torno de x=1 para resolver.

Passo 2

Definimos t = x-1. Quando xto1^-, temos tto0^-. Então x = 1+t e
ln x = ln(1+t)
Pela série de Taylor em torno de t=0,
ln(1+t) = t - t^22 + O(t^3)

Passo 3

Com isso,
ln x = tl(1 - t2 + O(t^2)r)
Então
1ln x = 1t,11 - t2 + O(t^2) = 1tl(1 + t2 + O(t^2)r),
onde usamos a expansão 11-u=1+u+O(u^2).

Passo 4

Agora escrevemos o que aparece no limite:
1x-1 - 1ln x = 1t - 1tl(1 + t2 + O(t^2)r) = 1t - 1t - 12 + O(t) = -12 + O(t)
Quando tto0, o termo O(t) some.

Resposta

- tfrac12

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