(A tractriz) A tractriz é a curva do plano
que tem a propriedade que o segmento de reta tangente delimitado pelo ponto de tangência e o eixo
tem comprimento constante. Esta curva admite a seguinte descrição mecânica: admita que uma partícula
com certa massa é arrastada a partir de sua posição inicial sobre o eixo
ao longo de um plano horizontal áspero por meio de uma corda
de comprimento
mantida tensionada, de forma que a extremidade
esteja sobre o eixo
. Esta curva foi estudada primeiramente por James Bernoulli em 1691, tem aplicações mecânicas na construção de eixos e acústicas na construção de alto-falantes.
A superfície obtida por rotação desta curva em torno do eixo
é a superfície chamada de pseudo-esfera. Esta superfície tem curvatura gaussiana constante negativa e é um modelo para a geometria de Lobatchevski.
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(a) Nestas condições, mostre que o menor ângulo formado pelo segmento
e o eixo
tem tangente igual a
. Conclua que, se o gráfico de
descreve a trajetória da particula no primeiro quadrante, então
(b) Determine a solução para esta última equação. Certifique-se de que os gráficos de
e
descrevem a figura abaixo.