Encontre a área
da região comum aos interiores das cardioides
,
da região comum aos interiores das cardioides
Passo 1
O enunciado pede a área da região comum aos interiores das cardioides
O método é usar a fórmula de área em coordenadas polares
mas, como queremos a interseção, em cada ângulo escolhemos o menor dos dois valores de
.
Passo 2
Encontrar os ângulos em que as duas curvas se cruzam resolvendo
Passo 3
Analisar qual cardioide dá o
menor em cada intervalo:
- Para
(isto é, em e ), tem-se logo o limite interior é . - Para
(isto é, em ), tem-se logo o limite interior é .
Passo 4
Escrevemos a área comum como soma de integrais sobre os três arcos, aproveitando a simetria de
e
. Assim
Por simetria a primeira e a terceira integrais são iguais, então
Passo 5
Calcular
Use
. Então
Passo 6
Calcular
De modo análogo,
Passo 7
Combinar para obter a área total: