Encontre a área
da região comum aos interiores das cardioides r=1+cos theta, r=1-cos theta, 0 <= theta <= 2 pi ;

Passo 1

O enunciado pede a área da região comum aos interiores das cardioides
r1=1+costheta, r2=1-costheta, 0<=theta<=2pi
O método é usar a fórmula de área em coordenadas polares
A=12integralthetaa^thetabr(theta)^2,dtheta
mas, como queremos a interseção, em cada ângulo escolhemos o menor dos dois valores de r.

Passo 2

Encontrar os ângulos em que as duas curvas se cruzam resolvendo
1+costheta=1-costheta Longrightarrow costheta=0 Longrightarrow theta=pi2,;3pi2

Passo 3

Analisar qual cardioide dá o r menor em cada intervalo:
  • Para costheta>=0 (isto é, em 0<=theta<=pi2 e 3pi2<=theta<=2pi), tem-se r1=1+costheta>=1-costheta=r2, logo o limite interior é r2(theta)=1-costheta.
  • Para costheta<=0 (isto é, em pi2<=theta<=3pi2), tem-se r2=1-costheta>=1+costheta=r1, logo o limite interior é r1(theta)=1+costheta.

Passo 4

Escrevemos a área comum como soma de integrais sobre os três arcos, aproveitando a simetria de 0topi2 e 3pi2to2pi. Assim
A =12l[integral0^pi2(1-costheta)^2,dtheta +integralpi2^3pi2(1+costheta)^2,dtheta +integral3pi2^2pi(1-costheta)^2,dthetar]
Por simetria a primeira e a terceira integrais são iguais, então
A =integral0^pi2(1-costheta)^2,dtheta +12integralpi2^3pi2(1+costheta)^2,dtheta

Passo 5

Calcular
J1=integral0^pi2(1-costheta)^2,dtheta =integral0^pi2l(1-2costheta+cos^2thetar)dtheta
Use cos^2theta=tfrac12(1+cos2theta). Então
J1 =integral0^pi2l(tfrac32-2costheta+tfrac12cos2thetar)dtheta =3pi4-2

Passo 6

Calcular
J2=integralpi2^3pi2(1+costheta)^2,dtheta =integralpi2^3pi2l(1+2costheta+cos^2thetar)dtheta
De modo análogo,
J2 =integralpi2^3pi2l(tfrac32+2costheta+tfrac12cos2thetar)dtheta =3pi2-4

Passo 7

Combinar para obter a área total:
A =J1+12,J2 =l(3pi4-2r) +12l(3pi2-4r) =3pi2-4

Resposta

boxedA=3pi2-4

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