Calcule as seguintes integrais impróprias, caso sejam convergentes:
integral1^+infty x(x^2+1)^2 d x

Passo 1

O enunciado nos pede calcular a integral imprópria
integral1^+inftyxl(x^2+1r)^2,dx
Trata-se de uma integral no infinito de uma função racional. Para resolver, vamos (1) verificar que ela realmente converge e (2) usar substituição algébrica para encontrar o valor exato.

Passo 2

Para xtoinfty, temos
x(x^2+1)^2sim xx^4=x^-3
Como integral1^inftyx^-3,dx convergem ( p=3>1), nossa integral também converge.

Passo 3

Fazemos a substituição
u = x^2+1, du = 2x,dx, x,dx = tfrac12,du
Quando x=1, u=2; quando xtoinfty, utoinfty.

Passo 4

Reescrevendo em u, temos
integral1^inftyx(x^2+1)^2,dx = integral2^infty12,u^2,du = 12integral2^inftyu^-2,du

Passo 5

A antiderivada de u^-2 é -u^-1. Logo,
12integral2^inftyu^-2,du = 12l[-u^-1r]2^infty = 12l(0 -(-tfrac12)r) = 14

Resposta

14

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