lim x 0^- ln (x^2+2 x)ln x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto 0^-lnl(x^2+2xr)ln x
O conteúdo aqui envolve limites de funções logarítmicas e a análise de domínio, pois tanto ln(x^2+2x) quanto ln x exigem argumentos positivos.

Passo 2

Determinamos o domínio real de ln(x^2+2x) e de ln x:
– Para ln(x^2+2x) precisamos de
x^2+2x>0 Long<=ftrightarrow x(x+2)>0 Long<=ftrightarrow x<-2ou x>0
– Para ln x precisamos de x>0.
Como estamos tentando xto0^-, o requisito x>0 para ln x já falha. Se, por acaso, ignorássemos isso e só olhássemos para ln(x^2+2x), veríamos que em (-2,0) o argumento x^2+2x é negativo, logo ali ln(x^2+2x) também não está definido.

Passo 3

Para a aproximação xto0^- não existe nenhum x suficientemente próximo de 0 (pela esquerda) que satisfaça simultaneamente as condições
x<0, x>0(ln x),e x(x+2)>0;(ln(x^2+2x))
Ou seja, a expressão sequer está definida em qualquer intervalo (-de<a,0).

Passo 4

Como não há valores de x em que a função esteja definida arbitrariamente perto de 0 pela esquerda, não faz sentido falar em limite real.

Resposta

O limite não existe (não está definido no domínio real).

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