Calcule as seguintes integrais impróprias, caso sejam convergentes:
integral0^+infty sen(t pi) e^-t d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
integral0^+inftysin(pi t),e^-t,dt
O conteúdo principal aqui é reconhecer a transformada de Laplace da função sin(omega t).

Passo 2

Sabemos que, para s>0 e omega real, vale a fórmula da transformada de Laplace:
integral0^inftye^-stsin(omega t),dt =omegas^2+omega^2

Passo 3

No nosso caso, identificamos s=1 (decaimento e^-t) e omega=pi. Substituindo nessa fórmula, obtemos
integral0^inftye^-tsin(pi t),dt =pi1^2+pi^2 =pi1+pi^2

Passo 4

Portanto, a integral é convergente e seu valor é pi/(1+pi^2).

Resposta

pi1+pi^2

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