lim x 0^- ln (e^x-1)ln x

Passo 1

O enunciado pede a avaliação do limite
limxto0^-lnl(e^x-1r)ln x
Este problema envolve o uso de expansão em série de Taylor para e^x-1 quando x é pequeno, e depois manipulação de logaritmos para extrair o comportamento dominante.

Passo 2

Para x próximo de 0 (tanto pela direita quanto pela esquerda), usamos a expansão
e^x-1 = x + x^22 + o(x^2)
Logo, para xto0^-, temos
e^x-1 = xl(1 + tfracx2 + o(x)r)

Passo 3

Aplicamos o logaritmo em cima de e^x-1:
lnl(e^x-1r) = lnl[xl(1 + tfracx2 + o(x)r)r] = ln x + lnl(1 + tfracx2 + o(x)r)
Como ln(1 + u)=u+o(u) para uto0, seguimos com
lnl(e^x-1r) = ln x + x2 + o(x)

Passo 4

Agora formamos a razão pedida:
lnl(e^x-1r)ln x = ln x + tfracx2 + o(x)ln x = 1 + tfracx2 + o(x)ln x
Quando xto0^-, temos ln xto-infty e xto0, portanto
xln xto0,
que implica
tfracx2 + o(x)ln xto0

Passo 5

Concluímos que
limxto0^-lnl(e^x-1r)ln x = 1

Resposta

1

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