Calcule as seguintes integrais impróprias, caso sejam convergentes:
integral-infty^0 x cosh (x) d x

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência e, se possível, calcular
integral-infty^0xcosh(x),dx
O conteúdo é de integrais impróprias e usaremos a definição
cosh(x)=tfrace^x+e^-x2 e integração por partes para encontrar uma antiderivada.

Passo 2

Substituindo cosh(x) e separando a integral, temos
integral-infty^0xcosh(x),dx =12integral-infty^0l(xe^x + xe^-xr),dx

Passo 3

Calculamos antiderivadas term a term via partes:
Para integral x e^x,dx, tomamos u=x, dv=e^x dx, obtendo
integral x e^x,dx = (x-1)e^x + C
Para integral x e^-x,dx, tomamos u=x, dv=e^-xdx, obtendo
integral x e^-x,dx = -l(x+1r)e^-x + C
Assim uma antiderivada de xcosh(x) é
F(x)=12l((x-1)e^x - (x+1)e^-xr)

Passo 4

Escrevemos a integral imprópria como
integral-infty^0xcosh(x),dx =limtto-inftyl[F(0)-F(t)r]
Calculamos
F(0)=12l((-1)cdot e^0 - (1)cdot e^0r) =12(-1-1)=-1

Passo 5

Analisamos o limite limtto-inftyF(t):
limtto-inftye^t(t-1)=0, mas
limtto-inftye^-t(t+1)=-infty, de modo que
F(t)=tfrac12l(0 - (-infty)r)=+infty
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limtto-inftyl[F(0)-F(t)r] =-1 - (+infty)=-infty,
ou seja, a integral diverge (vai para -infty).

Resposta

A integral é divergente (não converge para um valor finito).

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