Calcule as seguintes integrais impróprias, caso sejam convergentes:
integral1^3 d xraiz4 x-x^2-3

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
integral1^3 dxraiz4x - x^2 - 3
A dificuldade é que o radicando se anula nas extremidades x=1 e x=3, gerando singularidades do tipo 1/raizx-1 e 1/raiz3-x. Vamos verificar convergência e usar uma substituição trigonométrica clássica para resolver.

Passo 2

Observe que
4x - x^2 - 3 = -l(x^2 -4x +3r) = -l(x-1r)l(x-3r),
logo dentro da raiz temos
raiz4x - x^2 - 3 = raiz-(x-1)(x-3) = raiz(x-1)(3-x)
Assim a integral vira
integral1^3dxraiz(x-1)(3-x)

Passo 3

Para lidar com raiz(x-1)(3-x), fazemos a substituição
x = 2 + costheta, dx = -sintheta,dtheta
Note que
x-1 = 1 + costheta, 3-x = 1 - costheta,
então
raiz(x-1)(3-x) = raiz(1+costheta)(1-costheta) = raizsin^2theta = sintheta (thetain[0,pi])

Passo 4

Precisamos transformar os limites:
  • Quando x=1, temos 1 = 2+costhetaimpliescostheta=-1impliestheta=pi.
  • Quando x=3, temos 3 = 2+costhetaimpliescostheta=1impliestheta=0.
Logo a integral torna-se
integral1^3dxraiz(x-1)(3-x) = integraltheta=pi^theta=0 -sintheta,dthetasintheta = integralpi^0(-1),dtheta = integral0^pidtheta

Passo 5

O cálculo final é imediato:
integral0^pidtheta = pi
Como cada ponto de singularidade em x=1 e x=3 gera um comportamento integrável do tipo integral 1/raizt,dt, a integral converge.

Resposta

pi

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