Calcule as seguintes integrais impróprias, caso sejam convergentes:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral imprópria
A dificuldade é que o radicando se anula nas extremidades
e
, gerando singularidades do tipo
e
. Vamos verificar convergência e usar uma substituição trigonométrica clássica para resolver.
Passo 2
Observe que
logo dentro da raiz temos
Assim a integral vira
Passo 3
Para lidar com
, fazemos a substituição
Note que
então
Passo 4
Precisamos transformar os limites:
- Quando
, temos . - Quando
, temos .
Logo a integral torna-se
Passo 5
O cálculo final é imediato:
Como cada ponto de singularidade em
e
gera um comportamento integrável do tipo
, a integral converge.