Calcule as seguintes integrais impróprias, caso sejam convergentes:
integral0^pi2 d xcos (x)

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral imprópria
integral0^pi2dxcos(x)
Note que o integrando 1cos(x)=sec(x) apresenta singularidade em x=pi2, pois cosl(pi2r)=0. Para tratar isso, expressamos a integral como um limite.

Passo 2

Escrevemos
integral0^pi2sec(x),dx = limbtopi2^-integral0^bsec(x),dx
Agora precisamos encontrar a primitiva de sec(x).

Passo 3

É conhecido que
integral sec(x),dx = lnl|sec(x) + tan(x)r| + C
Logo, para qualquer b<pi2,
integral0^bsec(x),dx = lnl|sec(x) + tan(x)r||0^b = lnl(sec(b) + tan(b)r) - lnl(sec(0) + tan(0)r)
Como sec(0)=1 e tan(0)=0, o segundo termo é ln(1)=0, de modo que
integral0^bsec(x),dx = lnl(sec(b) + tan(b)r)

Passo 4

Agora avaliamos o limite quando btopi2^-. Nesse limite
cos(b)to0^+ implica sec(b)to+infty e tan(b)to+infty, logo
lnl(sec(b) + tan(b)r);longrightarrow;+infty
Portanto a integral cresce sem limite e não converge.

Resposta

A integral
integral0^pi2dxcos(x)
é divergente (vai a +infty).

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