Questão 1. Resolva as EDO’S abaixo:
x y^prime prime-y^prime=x^2 e^x

Passo 1

O enunciado pede a solução da EDO de segunda ordem
x,y'' - y' = x^2e^x,
que é uma equação linear com coeficientes variáveis. Para resolvê-la, colocamos em forma padrão, achamos a solução geral da homogênea e depois uma solução particular pelo método de variação de parâmetros.

Passo 2

Dividindo por x (supondo xneq0), ficamos com a forma padrão
y'' - 1xy' = x,e^x

Passo 3

Primeiro resolvemos a equação homogênea associada
y'' - 1xy' = 0
Seja p=y'. Então
dpdx-1xp=0 Longrightarrow 1p,dpdx=1x Longrightarrow ln|p|=ln|x|+C Longrightarrow p=C1x
Integrando y'=C1x obtemos
yh = integral C1x,dx = C12,x^2 + C2

Passo 4

Agora buscamos uma solução particular yp por variação de parâmetros. Tomamos como base da homogênea
u1(x)=x^2, u2(x)=1
O Wrónskiano é
W = x^2&12x&0 = -2x
Na forma padrão y''+P(x)y'+Q(x)y=R(x) temos P(x)=-tfrac1x, Q(x)=0, R(x)=x e^x.

Passo 5

Pelas fórmulas de variação de parâmetros,
v1' = -u2,RW = -1cdot x e^x-2x =e^x2, v2' = u1,RW = x^2,x e^x-2x =-x^2 e^x2
Integramos:
v1=12integral e^x,dx=e^x2, v2=-12integral x^2 e^x,dx =-12,e^x(x^2-2x+2)
Então
yp = v1u1 + v2u2 = e^x2,x^2 ;-;12,e^x(x^2-2x+2) = e^x(x-1)

Passo 6

A solução geral é
y = yh + yp = C12,x^2 + C2 + (x-1)e^x

Resposta

boxedy(x)=C12,x^2 + C2 + (x-1)e^x

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