(A tractriz) A tractriz é a curva do plano x y que tem a propriedade que o segmento de reta tangente delimitado pelo ponto de tangência e o eixo y tem comprimento constante. Esta curva admite a seguinte descrição mecânica: admita que uma partícula P com certa massa é arrastada a partir de sua posição inicial sobre o eixo x ao longo de um plano horizontal áspero por meio de uma corda P Q de comprimento a>0 mantida tensionada, de forma que a extremidade Q esteja sobre o eixo y. Esta curva foi estudada primeiramente por James Bernoulli em 1691, tem aplicações mecânicas na construção de eixos e acústicas na construção de alto-falantes. ^ddag>=r
^ddag>=r A superfície obtida por rotação desta curva em torno do eixo y é a superfície chamada de pseudo-esfera. Esta superfície tem curvatura gaussiana constante negativa e é um modelo para a geometria de Lobatchevski.
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(a) Nestas condições, mostre que o menor ângulo formado pelo segmento P Q e o eixo x tem tangente igual a raiza^2-x^2x. Conclua que, se o gráfico de y=y(x) descreve a trajetória da particula no primeiro quadrante, então
y^prime=-raiza^2-x^2x
(b) Determine a solução para esta última equação. Certifique-se de que os gráficos de y e -y descrevem a figura abaixo.

Passo 1

O enunciado descreve a tractriz, curva tal que o segmento de reta tangente em P=(x,y) até interceptar o eixo y tem comprimento constante a. Mecanicamente, isso equivale a arrastar uma partícula por uma corda PQ de comprimento a, com Q no eixo y. Vamos traduzir essa condição em um ângulo cujo tangente nos leve a uma equação diferencial de primeira ordem em y(x), e depois resolver essa ODE por separação de variáveis.

Passo 2

Seja P=(x,y(x)) e Q=(0,Y). Como PQ=a, vale
PQ^2 = x^2 + (Y - y)^2 = a^2 Longrightarrow Y - y = raiza^2 - x^2
O coeficiente angular da reta PQ é
m ;=;Y - y0 - x ;=; -,raiza^2 - x^2x
Mas, por definição da tractriz, essa reta é tangente à curva em P, logo
y'(x) ;=; m ;=; -,raiza^2 - x^2x

Passo 3

Temos a equação diferencial
dydx = -,raiza^2 - x^2x
Separamos variáveis:
dy = -,raiza^2 - x^2x,dx Longrightarrow integral dy = -integral raiza^2 - x^2x,dx

Passo 4

Para calcular
I=integral raiza^2 - x^2x,dx,
façamos x = asintheta, de modo que raiza^2 - x^2=acostheta e dx=acostheta,dtheta. Então
I = integral acosthetaasintheta,(acostheta,dtheta) = aintegral!cos^2thetasintheta,dtheta = aintegrall(csctheta - sinthetar),dtheta
Integrando,
I = al[lnl|tan(tfractheta2)r| + costhetar] + C

Passo 5

Voltando a x, temos
costheta = raiza^2 - x^2a, tan!l(tfractheta2r) = 1 - costhetasintheta = a - raiza^2 - x^2x
Portanto a solução geral é
y(x) = -,I + C = -,aln!l(tfraca - raiza^2 - x^2xr) - raiza^2 - x^2 + C

Passo 6

Usando a condição inicial natural y(a)=0 (a partícula parte de (a,0)), obtemos C=0. Além disso,
-ln!l(tfraca - raiza^2 - x^2xr) = ln!l(tfracxa - raiza^2 - x^2r) = ln!l(tfraca + raiza^2 - x^2xr),
de modo que a solução em forma clássica fica

Resposta

e a curva simétrica abaixo do eixo é dada por .

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