(A tractriz) A tractriz é a curva do plano que tem a propriedade que o segmento de reta tangente delimitado pelo ponto de tangência e o eixo tem comprimento constante. Esta curva admite a seguinte descrição mecânica: admita que uma partícula com certa massa é arrastada a partir de sua posição inicial sobre o eixo ao longo de um plano horizontal áspero por meio de uma corda de comprimento mantida tensionada, de forma que a extremidade esteja sobre o eixo . Esta curva foi estudada primeiramente por James Bernoulli em 1691, tem aplicações mecânicas na construção de eixos e acústicas na construção de alto-falantes. A superfície obtida por rotação desta curva em torno do eixo é a superfície chamada de pseudo-esfera. Esta superfície tem curvatura gaussiana constante negativa e é um modelo para a geometria de Lobatchevski.
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(a) Nestas condições, mostre que o menor ângulo formado pelo segmento e o eixo tem tangente igual a . Conclua que, se o gráfico de descreve a trajetória da particula no primeiro quadrante, então
(b) Determine a solução para esta última equação. Certifique-se de que os gráficos de e descrevem a figura abaixo.
Passo 1
O enunciado descreve a tractriz, curva tal que o segmento de reta tangente em até interceptar o eixo tem comprimento constante . Mecanicamente, isso equivale a arrastar uma partícula por uma corda de comprimento , com no eixo . Vamos traduzir essa condição em um ângulo cujo tangente nos leve a uma equação diferencial de primeira ordem em , e depois resolver essa ODE por separação de variáveis.
Passo 2
Seja e . Como , vale
O coeficiente angular da reta é
Mas, por definição da tractriz, essa reta é tangente à curva em , logo