Calcule as seguintes integrais impróprias, caso sejam convergentes: integral1^+infty d xx raizx

Passo 1

Nesse exercício a gente precisa calcular a integral imprópria
integral1^+infty dxxraizx
O conteúdo aqui é integral imprópria de função potência e vamos precisar reescrever a integranda e usar a antiderivada de x^n.

Passo 2

Primeiro, reescrevemos a integranda usando que raizx=x^1/2. Então
1xraizx=1x,x^1/2=x^-3/2

Passo 3

Em seguida, aplicamos a regra de potência para integrar: se nneq -1,
integral x^n,dx=x^n+1n+1
Aqui n=-tfrac32 e n+1=-tfrac12, logo
integral x^-3/2dx=x^-1/2-1/2=-2x^-1/2

Passo 4

Agora avaliamos o limite definindo
I=limbtoinftyintegral1^bx^-3/2dx =limbtoinftyl[-2x^-1/2r]1^b
Isso dá
I=limbtoinftyl(-2b^-1/2+2r)=0+2=2,
pois b^-1/2to0 quando btoinfty.

Passo 5

Como o limite existe e é finito, concluímos que a integral converge e o valor é 2.

Resposta

2

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