Exercs. 1-30: Ache o intervalo de convergência da série de potências.
sumn=0^infty 10^n+13^2 n x^n

Passo 1

O exercício pede para achar o intervalo de convergência da série de potências sumn=0^infty 10^n+13^2nx^n. O conteúdo é sobre séries de potências e vamos usar o teste da razão (ou reconhecer que é uma série geométrica disfarçada).

Passo 2

Vamos aplicar o teste da razão. Primeiro identificamos o termo geral an x^n, onde an=tfrac10^n+13^2n. Então consideramos o limite
L=limntoinfty |an+1x^n+1an x^n|
Substituindo:
an+1x^n+1an x^n =10^(n+1)+13^2(n+1)cdot3^2n10^n+1cdot x =10^n+23^2n+2cdot3^2n10^n+1cdot x =109,x
Então L=l|tfrac109xr|.

Passo 3

Pelo teste da razão, a série converge se L<1, ou seja:
|109x|<1 Longrightarrow |x|<910
Isso nos dá o raio de convergência R=tfrac910 e o intervalo aberto (-tfrac910,tfrac910).

Passo 4

Agora verificamos os extremos. Para x=tfrac910 a razão fica |10/9cdot9/10|=1, gerando a série 10sum 1^n que diverge. Para x=-tfrac910 a razão fica |10/9cdot(-9/10)|=1 com sinais alternados, mas os termos não tendem a zero, então também diverge. Assim, nenhum extremo entra no intervalo de convergência.

Resposta

O intervalo de convergência é l(-tfrac910,,tfrac910r).

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