Exercs. 1-30: Ache o intervalo de convergência da série de potências.
sumn=0^infty n+110^n(x-4)^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é achar o intervalo de convergência da série de potências
sumn=0^infty n+110^n(x-4)^n
Isso significa descobrir para quais valores de essa série vai somar de forma que ela realmente “funcione”, ou seja, converja. Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que é super útil nesse tipo de situação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o termo geral da série, que é o que está dentro da somatória:
an = n+110^n(x-4)^n
O Teste da Razão nos ajuda a encontrar o limite do quociente entre termos consecutivos da série. Se esse limite for menor que 1, a série converge.

Passo 3

Vamos calcular o quociente an+1an = (n+2)10^n+1(x-4)^n+1n+110^n(x-4)^n = n+210(n+1) |x-4| :
an+1an = n+210(n+1) |x-4|
Simplificando, fica:

Passo 4

Agora, vamos tirar o limite quando L = limn to infty n+210(n+1) |x-4| = 110 |x-4| tende ao infinito:
Aqui, percebemos que conforme cresce, o termo tende para 1.

Passo 5

Para a série convergir, precisamos que 110 |x-4| < 1 :
|x-4| < 10
Multiplicando os dois lados por 10:
Isso nos diz que a distância entre e 4 deve ser menor que 10.

Passo 6

Vamos resolver a desigualdade:
-10 < x - 4 < 10
Adicionando 4 em todas as partes:
-6 < x < 14
Então, o intervalo preliminar de convergência é de -6 a 14.

Passo 7

Agora, precisamos conferir os extremos sumn=0^infty n+110^n(-10)^n = sumn=0^infty (n+1)(-1)^n e sumn=0^infty n+110^n(10)^n = sumn=0^infty (n+1) :
  • Para :
Essa série não converge porque os termos não tendem a zero.
  • Para :
Essa também não converge, pois é uma série divergente (a soma vai ao infinito).

Resposta

O intervalo de convergência da série é .

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