Exercs. 1-30: Ache o intervalo de convergência da série de potências.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é achar o intervalo de convergência da série de potências
Isso significa descobrir para quais valores de
essa série vai somar de forma que ela realmente “funcione”, ou seja, converja. Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que é super útil nesse tipo de situação.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o termo geral da série, que é o que está dentro da somatória:
O Teste da Razão nos ajuda a encontrar o limite do quociente entre termos consecutivos da série. Se esse limite for menor que 1, a série converge.
Passo 3
Vamos calcular o quociente
:
Simplificando, fica:
Passo 4
Agora, vamos tirar o limite quando
tende ao infinito:
Aqui, percebemos que conforme
cresce, o termo
tende para 1.
Passo 5
Para a série convergir, precisamos que
:
Multiplicando os dois lados por 10:
Isso nos diz que a distância entre
e 4 deve ser menor que 10.
Passo 6
Vamos resolver a desigualdade:
Adicionando 4 em todas as partes:
Então, o intervalo preliminar de convergência é de -6 a 14.
Passo 7
Agora, precisamos conferir os extremos
e
:
- Para
:
Essa série não converge porque os termos não tendem a zero.
- Para
:
Essa também não converge, pois é uma série divergente (a soma vai ao infinito).
Resposta
O intervalo de convergência da série é
.