Determine os limites nos Exercicios 51-66.
lim x 0^+ x^2 ln x

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
limxto0^+ x^2ln x
Este é um problema de limites envolvendo indeterminação do tipo 0cdot(-infty). Para resolvê-lo, vamos converter em quociente e usar a regra de l’Hôpital.

Passo 2

Observamos que
limxto0^+x^2=0 e limxto0^+ln x=-infty,
logo a expressão é indeterminada do tipo 0cdot(-infty). Podemos reescrever
x^2ln x = ln x1/x^2,
ficando agora uma indeterminação do tipo tfrac-infty+infty.

Passo 3

Aplicamos a regra de l’Hôpital, derivando numerador e denominador:
limxto0^+ln x1/x^2 = limxto0^+ddx(ln x)ddx(1/x^2) = limxto0^+1/x-2x^-3 = limxto0^+l(-tfracx^32xr) = limxto0^+l(-tfracx^22r)

Passo 4

Como x^2/2to0 quando xto0^+, temos
limxto0^+l(-tfracx^22r)=0

Resposta

0

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