Calcule as seguintes integrais impróprias, caso sejam convergentes:
integral1^infty d xx raizx

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
integral1^inftydxxraizx
que é um caso de integral no infinito. Para resolver, vamos usar o fato de que
1xraizx = x^-3/2
e aplicar a fórmula de integral de potências integral x^n,dx = dfracx^n+1n+1 (para nneq -1), avaliando depois o limite quando o limite superior tende a infinito.

Passo 2

Reescrevendo o integrando em potência de x, temos
1xraizx = x^-1,x^-1/2 = x^-3/2

Passo 3

Encontramos um antiderivado de x^-3/2. Usando a fórmula de potências,
integral x^-3/2,dx = x^-3/2 + 1-3/2 + 1 = x^-1/2-1/2 = -2,x^-1/2

Passo 4

Agora avaliamos a integral de 1 até um valor A>1 e depois tomamos Atoinfty:
integral1^A x^-3/2,dx = l[-2,x^-1/2r]1^A = -2,A^-1/2 - l(-2cdot1^-1/2r) = -2,A^-1/2 + 2
Como A^-1/2to0 quando Atoinfty, o limite é
limAtoinftyl(-2,A^-1/2 + 2r) = 2

Passo 5

Concluímos que a integral converge e seu valor é 2.

Resposta

integral1^inftydxxraizx = 2

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