Encontre a solução geral das edos( 1,0 ponto cada item!!):
y^prime prime+y^prime+2 y=tan (x)

Passo 1

Aqui temos uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não-homogêneo:
y'' + y' + 2y = tan(x)
O conteúdo envolvido é a solução de equações lineares não-homogêneas, que fazemos em duas etapas: primeiro achamos a solução geral da homogênea associada, depois obtemos uma solução particular por variação de parâmetros.

Passo 2

Resolvendo a homogênea
y'' + y' + 2y = 0,
montamos a equação característica
r^2 + r + 2 = 0
As raízes são
r = -1 pm raiz1 - 82 = -1 pm i,raiz72
Logo a solução complementar é
yc(x) = e^-x/2(C1cosl(tfracraiz72xr) + C2sinl(tfracraiz72xr))

Passo 3

Para uma solução particular yp, usamos variação de parâmetros. Escolhemos
y1(x)=e^-x/2cosl(tfracraiz72xr), y2(x)=e^-x/2sinl(tfracraiz72xr)
O wronskiano é
W = y1y2' - y1'y2 = raiz72,e^-x
As fórmulas de variação de parâmetros dão
u1'(x) = -y2(x),tan(x)W(x), u2'(x) = y1(x),tan(x)W(x)

Passo 4

Substituindo em variação de parâmetros obtemos
u1'(x) = -e^-x/2,sinl(tfracraiz72xr),tan(x)(raiz7/2)e^-x = -2raiz7,e^x/2sinl(tfracraiz72xr),tan(x),
u2'(x) = 2raiz7,e^x/2cosl(tfracraiz72xr),tan(x)
Integrando,
u1(x) = -2raiz7integral e^x/2sin!l(tfracraiz72xr)tan(x),dx, u2(x) = 2raiz7integral e^x/2cos!l(tfracraiz72xr)tan(x),dx
Então a solução particular é
yp(x) = u1(x),y1(x) + u2(x),y2(x)

Resposta

A solução geral é
y(x) = e^-x/2(C1cos!l(tfracraiz72xr) + C2sin!l(tfracraiz72xr)) - 2raiz7,e^-x/2cos!l(tfracraiz72xr)integral e^x/2sin!l(tfracraiz72xr)tan(x),dx
y(x)= + 2raiz7,e^-x/2sin!l(tfracraiz72xr)integral e^x/2cos!l(tfracraiz72xr)tan(x),dx

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