Calcule as seguintes integrais impróprias, caso sejam convergentes:
integral1^infty d xx ln (x)

Passo 1

O enunciado pede a avaliação da integral imprópria
integral1^inftydxx,ln(x)
Trata-se de uma integral imprópria com duas fontes de divergência: em x=1 (onde ln(x)=0) e em xtoinfty. Vamos encontrar um antiderivado e então estudar os limites em cada extremidade.

Passo 2

Para achar um antiderivado, fazemos a substituição t=ln(x). Então
dt = dxx,
e a integral fica
integral dxx,ln(x) =integral dtt =lnl|tr| + C =lnl|ln(x)r| + C

Passo 3

Agora avaliamos o comportamento para o limite superior. Seja b>1. A parte de 1 até b vale
integral1^bdxx,ln(x) =l[lnl|ln(x)r|r]1^b =lnl(ln(b)r)-lnl(ln(1)r)
Mas ln(1)=0, portanto ln(ln(1))=ln(0)to -infty. Já o termo ln(ln(b)) para btoinfty tende a +infty.

Passo 4

Analisando separadamente:
  1. Limite inferior ato1^+: limato1^+lnl(ln(a)r) =ln(0^+) =-infty, ou seja, diverge negativamente.
  2. Limite superior btoinfty: limbtoinftylnl(ln(b)r) =+infty, diverge positivamente.

Passo 5

Como cada extremidade diverge, a integral imprópria
integral1^inftydxx,ln(x)
não converge.

Resposta

A integral diverge (não é convergente).

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