QUESTÃO 06.

  1. Calcule f^prime(x).
    a) f(x)=3 x^2+5
    b) f(x)=x^3+x^2+1
    c) f(x)=3 x^3-2 x^2+4
    d) f(x)=3 x+raizx
    e) f(x)=5+3 x^-2
    f) f(x)=2 raiz[3]x
    g) f(x)=3 x+1x
    h) f(x)=4x+5x^2
    i) f(x)=23 x^3+14 x^2
    j) f(x)=raiz[3]x+raizx
    l) f(x)=2 x+1x+1x^2
    m) f(x)=6 x^3+raiz[3]x
    n) f(x)=5 x^4+b x^3+c x^2+k, em que b, c e k são constantes.
  2. Seja g(x)=x^3+1x. Determine a equação da reta tangente ao gráfico de g no ponto (1, g(1) ).

Passo 1

O enunciado pede para calcular f'(x) para várias funções usando as regras básicas de derivação (regra da potência, derivada da soma, da constante e do produto por constante) e depois, na segunda parte, encontrar a reta tangente ao gráfico de g(x)=x^3+tfrac1x no ponto x=1. Vamos usar:
  • Derivada de x^n: ddxx^n = n x^n-1.
  • Derivada de constante: ddxk = 0.
  • Derivada de soma: ddx(u+v)=u'+v'.
  • Para potências fracionárias escrevemos x^m/n e aplicamos a regra da potência.

Passo 2

Derivadas de polinômios simples:
a) f(x)=3x^2+5
f'(x)=6x.
b) f(x)=x^3+x^2+1
f'(x)=3x^2+2x.
c) f(x)=3x^3-2x^2+4
f'(x)=9x^2-4x.

Passo 3

Derivadas envolvendo raízes e potências negativas:
d) f(x)=3x+raizx=3x+x^1/2
f'(x)=3+tfrac12x^-1/2=3+12raizx.
e) f(x)=5+3x^-2
f'(x)=-6x^-3=-6x^3.
f) f(x)=2raiz[3]x=2x^1/3
f'(x)=tfrac23x^-2/3=23x^2/3.

Passo 4

Derivadas de funções racionais vistas como potências:
g) f(x)=3x+tfrac1x=3x+x^-1
f'(x)=3 - x^-2=3-1x^2.
h) f(x)=tfrac4x+tfrac5x^2=4x^-1+5x^-2
f'(x)=-4x^-2-10x^-3=-4x^2-10x^3.
i) f(x)=tfrac23x^3+tfrac14x^2
f'(x)=2x^2+tfrac12x.

Passo 5

Mais combinações de potências fracionárias:
j) f(x)=raiz[3]x+raizx=x^1/3+x^1/2
f'(x)=tfrac13x^-2/3+tfrac12x^-1/2.
l) f(x)=2x+tfrac1x+tfrac1x^2=2x+x^-1+x^-2
f'(x)=2 - x^-2-2x^-3=2-1x^2-2x^3.
m) f(x)=6x^3+raiz[3]x=6x^3+x^1/3
f'(x)=18x^2+tfrac13x^-2/3.

Passo 6

Polinômio geral com constantes:
n) f(x)=5x^4+bx^3+cx^2+k
f'(x)=20x^3+3b x^2+2c x.

Passo 7

Agora g(x)=x^3+tfrac1x. Temos
g'(x)=3x^2 - x^-2.
Em x=1:
g(1)=1+1=2,
g'(1)=3cdot1^2-1=2.
A reta tangente em (1,2) é
y-2 = 2,(x-1),
ou seja, simplificando,
y=2x

Resposta

a) 6x
b) 3x^2+2x
c) 9x^2-4x
d) 3 + tfrac12raizx
e) -tfrac6x^3
f) tfrac23x^2/3
g) 3 - tfrac1x^2
h) -tfrac4x^2 - tfrac10x^3
i) 2x^2 + tfrac12 x
j) tfrac13 x^-2/3 + tfrac12 x^-1/2
l) 2 - tfrac1x^2 - tfrac2x^3
m) 18x^2 + tfrac13 x^-2/3
n) 20x^3 + 3b x^2 + 2c x
Equação da reta tangente em (1,g(1)):
y=2x.

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