Resolva os pvi(1,0 ponto cada item):

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
dydx=y^2 - x,y, y(1)=1
Este é um caso da equação de Bernoulli, que tem a forma
y' + p(x),y = q(x),y^n
Aqui temos y' + x,y = 1cdot y^2, ou seja p(x)=x, q(x)=1 e n=2. Para resolver precisamos aplicar a transformação de Bernoulli.

Passo 2

Escrevemos o problema na forma
y' + x,y = y^2
Na equação de Bernoulli a substituição é
z = y^1-n = y^-1
Vamos encontrar uma equação linear para z.

Passo 3

Como z=y^-1, temos
z' = -,y'y^2
Da equação original y' = y^2 - x,y segue
z' = -,y^2 - x,yy^2 = -l(1 - xyr) = -1 + x,1y = -1 + x,z
Assim obtemos a equação linear
z' - x,z = -1

Passo 4

Para resolver
z' - x,z = -1
calculamos o fator integrante
mu(x) = exp!gl(integral -x,dxgr) = exp!l(-tfracx^22r)
Multiplicando a equação por mu vem
ddxl(mu,zr) = -,mu
Integrando de 1 a x,
mu(x),z(x) - mu(1),z(1) = -integral1^x mu(t),dt

Passo 5

Sabemos que z(1)=y(1)^-1=1 e mu(1)=e^-1/2. Logo
e^-x^2/2,z(x) - e^-1/2cdot1 = -integral1^x e^-t^2/2,dt
Isolando z(x),
z(x) = e^x^2/2l(e^-1/2 - integral1^x e^-t^2/2,dtr)
Finalmente voltamos a y=1/z.

Resposta

Uma forma equivalente, usando a função erro , é

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