Calcule as seguintes integrais impróprias:
\iint_{x^{2}+y^{2} leq 1} \frac{d x d y}{\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}}

Passo 1

O enunciado pede que se calcule a integral imprópria sobre o disco unitário
\iint_{x^{2}+y^{2}\le 1}\frac{dx\,dy}{\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}}.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A região de integração é o disco \{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le 1\}.
  • O integrando é \dfrac{1}{\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}}, que fica singular quando x^{2}+y^{2}\to 1 (na fronteira do disco). Por isso a integral é imprópria e precisamos checar convergência ao calcular.
  • Objetivo: avaliar o valor numérico da integral (mostrar que converge e calcular seu valor).

Passo 2

Mudança para coordenadas polares — explicação didática:
  • As coordenadas polares são definidas por x=r\cos\theta e y=r\sin\theta, onde r\ge 0 e \theta\in[0,2\pi).
  • O elemento de área em coordenadas polares vale dx\,dy = r\,dr\,d\theta. Isso vem do Jacobiano da transformação; intuitivamente, um pequeno retângulo em (r,\theta) tem área aproximada r\,\Delta r\,\Delta\theta.
  • O disco x^{2}+y^{2}\le 1 corresponde a 0\le r\le 1 e 0\le\theta\le 2\pi.
  • Substituindo x^{2}+y^{2}=r^{2} no integrando, obtemos \dfrac{1}{\sqrt{1-r^{2}}}.

Passo 3

Escrever a integral em coordenadas polares:
\iint_{x^{2}+y^{2}\le 1}\frac{dx\,dy}{\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}} = \int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{1}\frac{r}{\sqrt{1-r^{2}}}\,dr\,d\theta.
Como o integrando é independente de \theta, podemos separar:
\int_{0}^{2\pi}d\theta\;\cdot\;\int_{0}^{1}\frac{r}{\sqrt{1-r^{2}}}\,dr = 2\pi\int_{0}^{1}\frac{r}{\sqrt{1-r^{2}}}\,dr.

Passo 4

Cálculo da integral radial por substituição — passo a passo e explicação do método:
  • Tome a substituição u=1-r^{2}. Então du=-2r\,dr, isto é r\,dr=-\dfrac{1}{2}\,du.
  • Limites: quando r=0 temos u=1; quando r=1 temos u=0.
  • Substituindo na integral radial:
\int_{0}^{1}\frac{r}{\sqrt{1-r^{2}}}\,dr = \int_{u=1}^{0}\frac{-1}{2}\,u^{-1/2}\,du = \frac{1}{2}\int_{0}^{1}u^{-1/2}\,du.
  • Agora integrar a potência: para u^{-1/2} a primitiva é 2u^{1/2}. Assim
\int_{0}^{1}u^{-1/2}\,du = \left[2u^{1/2}\right]_{0}^{1}=2.
  • Logo a integral radial vale \dfrac{1}{2}\cdot 2. Mantendo a constante angular fora, temos
2\pi\int_{0}^{1}\frac{r}{\sqrt{1-r^{2}}}\,dr = 2\pi\cdot\frac{1}{2}\cdot 2.

Passo 5

Verificação da convergência (por que a integral imprópria é finita):
  • O único problema possível era na fronteira r\to 1, onde \sqrt{1-r^{2}}\to 0.
  • Após a substituição u=1-r^{2} vimos que a integral radial reduz-se a \int_{0}^{1}u^{-1/2}\,du, que é convergente (é uma integral tipo u^{\alpha} com \alpha>-1, aqui \alpha=-1/2>-1).
  • Portanto a singularidade na fronteira é integrável e a integral total converge.

Passo 6

Resumo do cálculo (sem repetir a resposta final simplificada):
  • A integral dupla foi transformada em coordenadas polares, separada em fator angular 2\pi e integral radial que, por substituição, deu o fator \dfrac{1}{2}\cdot 2.
  • Multiplicando os fatores obtidos temos 2\pi\cdot\dfrac{1}{2}\cdot 2, com a convergência justificada pela integral de u^{-1/2} em [0,1].

Resposta

\;2\pi

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