Calcule as seguintes integrais impróprias:
Passo 1
O enunciado pede que se calcule a integral imprópria sobre o disco unitário
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A região de integração é o disco
. - O integrando é
, que fica singular quando (na fronteira do disco). Por isso a integral é imprópria e precisamos checar convergência ao calcular. - Objetivo: avaliar o valor numérico da integral (mostrar que converge e calcular seu valor).
Passo 2
Mudança para coordenadas polares — explicação didática:
- As coordenadas polares são definidas por
e , onde e . - O elemento de área em coordenadas polares vale
. Isso vem do Jacobiano da transformação; intuitivamente, um pequeno retângulo em tem área aproximada . - O disco
corresponde a e . - Substituindo
no integrando, obtemos .
Passo 3
Escrever a integral em coordenadas polares:
Como o integrando é independente de
, podemos separar:
Passo 4
Cálculo da integral radial por substituição — passo a passo e explicação do método:
- Tome a substituição
. Então , isto é . - Limites: quando
temos ; quando temos . - Substituindo na integral radial:
- Agora integrar a potência: para
a primitiva é . Assim
- Logo a integral radial vale
. Mantendo a constante angular fora, temos
Passo 5
Verificação da convergência (por que a integral imprópria é finita):
- O único problema possível era na fronteira
, onde . - Após a substituição
vimos que a integral radial reduz-se a , que é convergente (é uma integral tipo com , aqui ). - Portanto a singularidade na fronteira é integrável e a integral total converge.
Passo 6
Resumo do cálculo (sem repetir a resposta final simplificada):
- A integral dupla foi transformada em coordenadas polares, separada em fator angular
e integral radial que, por substituição, deu o fator . - Multiplicando os fatores obtidos temos
, com a convergência justificada pela integral de em .