Calcule as seguintes integrais impróprias:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral imprópria dupla sobre o quadrado unitário:
Informações dadas e observações imediatas:
- A região de integração é o quadrado
. - A função a integrar é
. - A integranda é não negativa, mas é singular nos lados
e (fica infinita ao se aproximar desses lados). Por isso a integral é imprópria e deve ser tratada por limite.
Passo 2
Como a integranda é não negativa em toda a região, podemos definir a integral dupla imprópria como limite das integrais sobre o quadrado excluindo uma vizinhança do canto
. Uma maneira rigorosa é considerar, para
,
e então tomar o limite quando
:
desde que esse limite exista e seja finito. Como a função é não negativa, podemos também usar o fato de que integrais de funções positivas permitem trocar ordem de integração e fatorar produto quando a integranda é produto de função de
por função de
(isso será usado adiante).
Passo 3
Vamos estudar as integrais em uma variável que aparecem aqui e verificar sua convergência. Recordando a regra básica de integração de potências: para
,
No nosso caso aparece
. Calculemos
Aplicando a fórmula com
temos
Assim,
Importante: a integral impropria no extremo
converge porque o expoente
satisfaz a condição geral de convergência
converge se, e só se,
. Aqui
, logo converge.
Passo 4
Usando que
e que a função é não negativa, podemos calcular a integral dupla como produto das integrais unidimensionais (ou calcular iteradamente). Primeiro calculamos a integral interna em
fixando
:
Agora integramos em
:
Pelo cálculo do Passo 3,
. Logo
Passo 5
Comentário sobre convergência total: cada integral unidimensional
e
converge (valem
). Como a integranda do produto é integrável separadamente em cada variável e é não negativa, a integral dupla sobre
também converge e é igual ao produto das integrais, resultando em
. Isso coincide com a visão pelo limite
: para
,
e cada fator tende a
quando
, logo
.