Calcule as seguintes integrais impróprias:
\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \frac{d x d y}{\sqrt{x y}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria dupla sobre o quadrado unitário:
\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\frac{dx\,dy}{\sqrt{x y}}.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A região de integração é o quadrado [0,1]\times[0,1].
  • A função a integrar é \dfrac{1}{\sqrt{x y}}=\dfrac{1}{\sqrt{x}}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{y}}.
  • A integranda é não negativa, mas é singular nos lados x=0 e y=0 (fica infinita ao se aproximar desses lados). Por isso a integral é imprópria e deve ser tratada por limite.

Passo 2

Como a integranda é não negativa em toda a região, podemos definir a integral dupla imprópria como limite das integrais sobre o quadrado excluindo uma vizinhança do canto (0,0). Uma maneira rigorosa é considerar, para \varepsilon>0,
I(\varepsilon)=\int_{\varepsilon}^{1}\int_{\varepsilon}^{1}\frac{dx\,dy}{\sqrt{x y}}
e então tomar o limite quando \varepsilon\to 0^{+}:
\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\frac{dx\,dy}{\sqrt{x y}}=\lim_{\varepsilon\to 0^{+}} I(\varepsilon),
desde que esse limite exista e seja finito. Como a função é não negativa, podemos também usar o fato de que integrais de funções positivas permitem trocar ordem de integração e fatorar produto quando a integranda é produto de função de x por função de y (isso será usado adiante).

Passo 3

Vamos estudar as integrais em uma variável que aparecem aqui e verificar sua convergência. Recordando a regra básica de integração de potências: para p\neq -1,
\int x^{p}\,dx=\frac{x^{p+1}}{p+1}+C.
No nosso caso aparece x^{-1/2}. Calculemos
\int_{0}^{1} x^{-1/2}\,dx.
Aplicando a fórmula com p=-\tfrac{1}{2} temos
\int x^{-1/2}\,dx=\frac{x^{1/2}}{1/2}=2x^{1/2}+C.
Assim,
\int_{0}^{1} x^{-1/2}\,dx=\bigl[2x^{1/2}\bigr]_{0}^{1}=2\cdot1^{1/2}-2\cdot0^{1/2}=2.
Importante: a integral impropria no extremo 0 converge porque o expoente -\tfrac{1}{2} satisfaz a condição geral de convergência \int_{0}^{1} x^{\alpha}\,dx converge se, e só se, \alpha>-1. Aqui \alpha=-\tfrac{1}{2}>-1, logo converge.

Passo 4

Usando que \dfrac{1}{\sqrt{x y}}=\dfrac{1}{\sqrt{x}}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{y}} e que a função é não negativa, podemos calcular a integral dupla como produto das integrais unidimensionais (ou calcular iteradamente). Primeiro calculamos a integral interna em x fixando y>0:
\int_{0}^{1}\frac{dx}{\sqrt{x y}}=\frac{1}{\sqrt{y}}\int_{0}^{1}x^{-1/2}\,dx=\frac{1}{\sqrt{y}}\cdot 2=2\,y^{-1/2}.
Agora integramos em y:
\int_{0}^{1}2\,y^{-1/2}\,dy=2\int_{0}^{1}y^{-1/2}\,dy.
Pelo cálculo do Passo 3, \int_{0}^{1}y^{-1/2}\,dy=2. Logo
2\int_{0}^{1}y^{-1/2}\,dy=2\cdot 2=4.

Passo 5

Comentário sobre convergência total: cada integral unidimensional \int_{0}^{1}x^{-1/2}\,dx e \int_{0}^{1}y^{-1/2}\,dy converge (valem 2). Como a integranda do produto é integrável separadamente em cada variável e é não negativa, a integral dupla sobre [0,1]^2 também converge e é igual ao produto das integrais, resultando em 4. Isso coincide com a visão pelo limite I(\varepsilon): para \varepsilon>0,
I(\varepsilon)=\left(\int_{\varepsilon}^{1}x^{-1/2}\,dx\right)\left(\int_{\varepsilon}^{1}y^{-1/2}\,dy\right)
e cada fator tende a 2 quando \varepsilon\to 0^{+}, logo I(\varepsilon)\to 4.

Resposta

\displaystyle 4

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