Use coordenadas polares e calcule as seguintes integrais duplas:
\iint_{[0,3] \times[0, x]} \sqrt{x{2}+y{2}} d A
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{[0,3]\times[0,x]} \sqrt{x^{2}+y^{2}}\,dA.
Informações e o que é pedido:
A região de integração é \{(x,y)\mid 0\le x\le 3,\\\ 0\le y\le x\}. Ou seja, um triângulo no primeiro quadrante com vértices em (0,0), (3,0) e (3,3).
O integrando é \sqrt{x^{2}+y^{2}}.
A tarefa é calcular o valor numérico da integral dupla sobre essa região, usando coordenadas polares.
Passo 2
Por que usar coordenadas polares aqui? Vou explicar os conceitos básicos (com calma, passo a passo).
Nas coordenadas polares representamos um ponto por (r,\theta), com r\ge0 e \theta o ângulo. As relações são
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta.
A distância ao origem \sqrt{x^{2}+y^{2}} fica muito simples: \sqrt{x^{2}+y^{2}} = r.
A diferencial de área em polares não é simplesmente dr\,d\theta; há o fator Jacobiano r. Ou seja,
dA = r\,dr\,d\theta.
Explicação rápida do Jacobiano: quando se passa de retângulos em (r,\theta) para a área real eles se “esticam” em comprimento por um fator r, por isso multiplica-se por r. (Não precisa decorar sem sentido: lembrar que dA=r\,dr\,d\theta é essencial.)
Passo 3
Agora vamos descrever a região \{(x,y)\mid 0\le x\le 3,\\\ 0\le y\le x\} em polares.
A reta y=0 corresponde a \theta=0.
A reta y=x corresponde a \theta=\pi/4 (pois \tan\theta = y/x =1).
A reta vertical x=3 em polares é r\cos\theta = 3, isto é,
r = \frac{3}{\cos\theta} = 3\operatorname{sec}\theta.
Portanto, para \theta entre 0 e \pi/4 o raio r vai de 0 até 3\operatorname{sec}\theta. Logo a região em polares é
Agora precisamos calcular \displaystyle \int_{0}^{\pi/4} \operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta. Vou mostrar a técnica padrão (integração por partes) e explicar cada passo.
Seja \displaystyle I=\int \operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta.
Escreve-se \operatorname{sec}^{3}\theta = \operatorname{sec}\theta\cdot\operatorname{sec}^{2}\theta e usa-se integração por partes escolhendou=\operatorname{sec}\theta,\qquad dv=\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta.Então du=\operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta e v=\tan\theta.
Note que \int \operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta aparece nos dois lados; somando \int \operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta aos dois lados obtemos2\int \operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta = \operatorname{sec}\theta\tan\theta + \int \operatorname{sec}\theta\,d\theta.
E a integral conhecida \int \operatorname{sec}\theta\,d\theta vale\int \operatorname{sec}\theta\,d\theta = \ln\!\big|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta\big| + C.
Juntando tudo, a antiderivada é\int \operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta = \frac{1}{2}\operatorname{sec}\theta\tan\theta + \frac{1}{2}\ln\!\big|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta\big| + C.