Use coordenadas polares e calcule as seguintes integrais duplas:
\iint_{[0,3] \times[0, x]} \sqrt{x{2}+y{2}} d A

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{[0,3]\times[0,x]} \sqrt{x^{2}+y^{2}}\,dA.
Informações e o que é pedido:
  • A região de integração é \{(x,y)\mid 0\le x\le 3,\\\ 0\le y\le x\}. Ou seja, um triângulo no primeiro quadrante com vértices em (0,0), (3,0) e (3,3).
  • O integrando é \sqrt{x^{2}+y^{2}}.
  • A tarefa é calcular o valor numérico da integral dupla sobre essa região, usando coordenadas polares.

Passo 2

Por que usar coordenadas polares aqui? Vou explicar os conceitos básicos (com calma, passo a passo).
  • Nas coordenadas polares representamos um ponto por (r,\theta), com r\ge0 e \theta o ângulo. As relações são
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta.
  • A distância ao origem \sqrt{x^{2}+y^{2}} fica muito simples: \sqrt{x^{2}+y^{2}} = r.
  • A diferencial de área em polares não é simplesmente dr\,d\theta; há o fator Jacobiano r. Ou seja,
dA = r\,dr\,d\theta.
Explicação rápida do Jacobiano: quando se passa de retângulos em (r,\theta) para a área real eles se “esticam” em comprimento por um fator r, por isso multiplica-se por r. (Não precisa decorar sem sentido: lembrar que dA=r\,dr\,d\theta é essencial.)

Passo 3

Agora vamos descrever a região \{(x,y)\mid 0\le x\le 3,\\\ 0\le y\le x\} em polares.
  • A reta y=0 corresponde a \theta=0.
  • A reta y=x corresponde a \theta=\pi/4 (pois \tan\theta = y/x =1).
  • A reta vertical x=3 em polares é r\cos\theta = 3, isto é,
r = \frac{3}{\cos\theta} = 3\operatorname{sec}\theta.
Portanto, para \theta entre 0 e \pi/4 o raio r vai de 0 até 3\operatorname{sec}\theta. Logo a região em polares é
0\le \theta\le \frac{\pi}{4},\qquad 0\le r\le 3\operatorname{sec}\theta.

Passo 4

Troca do integrando e do diferencial para polares:
  • \sqrt{x^{2}+y^{2}} = r.
  • dA = r\,dr\,d\theta.
    Logo o integrando multiplicado pelo Jacobiano dá r\cdot r = r^{2}.
    Assim a integral fica
\iint_{R} \sqrt{x^{2}+y^{2}}\,dA = \int_{0}^{\pi/4}\int_{0}^{3\operatorname{sec}\theta} r^{2}\,dr\,d\theta.

Passo 5

Calcular a integral interna em r:
\int_{0}^{3\operatorname{sec}\theta} r^{2}\,dr = \left[\frac{r^{3}}{3}\right]_{0}^{3\operatorname{sec}\theta} = \frac{(3\operatorname{sec}\theta)^{3}}{3} = \frac{27\operatorname{sec}^{3}\theta}{3} = 9\operatorname{sec}^{3}\theta.
Portanto a integral reduz-se a
\int_{0}^{\pi/4} 9\operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta.

Passo 6

Agora precisamos calcular \displaystyle \int_{0}^{\pi/4} \operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta. Vou mostrar a técnica padrão (integração por partes) e explicar cada passo.
  • Seja \displaystyle I=\int \operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta.
  • Escreve-se \operatorname{sec}^{3}\theta = \operatorname{sec}\theta\cdot\operatorname{sec}^{2}\theta e usa-se integração por partes escolhendo u=\operatorname{sec}\theta,\qquad dv=\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta.Então du=\operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta e v=\tan\theta.
  • Aplicando integração por partes: I = \operatorname{sec}\theta\tan\theta - \int \tan\theta\cdot(\operatorname{sec}\theta\tan\theta)\,d\theta = \operatorname{sec}\theta\tan\theta - \int \operatorname{sec}\theta\tan^{2}\theta\,d\theta.
  • Usamos a identidade \tan^{2}\theta = \operatorname{sec}^{2}\theta - 1. Assim I = \operatorname{sec}\theta\tan\theta - \int \operatorname{sec}\theta(\operatorname{sec}^{2}\theta - 1)\,d\theta = \operatorname{sec}\theta\tan\theta - \int \operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta + \int \operatorname{sec}\theta\,d\theta.
  • Note que \int \operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta aparece nos dois lados; somando \int \operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta aos dois lados obtemos 2\int \operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta = \operatorname{sec}\theta\tan\theta + \int \operatorname{sec}\theta\,d\theta.
  • Portanto \int \operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta = \frac{1}{2}\operatorname{sec}\theta\tan\theta + \frac{1}{2}\int \operatorname{sec}\theta\,d\theta.
  • E a integral conhecida \int \operatorname{sec}\theta\,d\theta vale \int \operatorname{sec}\theta\,d\theta = \ln\!\big|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta\big| + C.
  • Juntando tudo, a antiderivada é \int \operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta = \frac{1}{2}\operatorname{sec}\theta\tan\theta + \frac{1}{2}\ln\!\big|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta\big| + C.

Passo 7

Avaliar a integral definida. Temos
\int_{0}^{\pi/4} 9\operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta = 9\left[\frac{1}{2}\operatorname{sec}\theta\tan\theta + \frac{1}{2}\ln\!\big(\operatorname{sec}\theta+\tan\theta\big)\right]_{0}^{\pi/4}.
Calculemos as quantidades nos limites:
  • Para \theta=\pi/4: \operatorname{sec}(\pi/4)=\sqrt{2}, \tan(\pi/4)=1. Então \frac{1}{2}\operatorname{sec}\theta\tan\theta + \frac{1}{2}\ln(\operatorname{sec}\theta+\tan\theta) = \frac{1}{2}\sqrt{2} + \frac{1}{2}\ln(\sqrt{2}+1).
  • Para \theta=0: \operatorname{sec} 0=1, \tan 0=0. Então \frac{1}{2}\operatorname{sec}\theta\tan\theta + \frac{1}{2}\ln(\operatorname{sec}\theta+\tan\theta) = 0 + \frac{1}{2}\ln(1) = 0.
Subtraindo e multiplicando por 9:
\int_{0}^{\pi/4} 9\operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta = 9\left(\frac{1}{2}\sqrt{2} + \frac{1}{2}\ln(\sqrt{2}+1)\right) = \frac{9}{2}\sqrt{2} + \frac{9}{2}\ln(\sqrt{2}+1).

Resposta

\displaystyle \frac{9}{2}\sqrt{2}+\frac{9}{2}\ln(\sqrt{2}+1)

Exercícios relacionados