Calcule as seguintes integrais impróprias:
\int_{0}^{\infty} \frac{d x}{(3 x+1)^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{0}^{\infty} \frac{dx}{(3x+1)^{2}}.
Trata-se de uma integral imprópria no limite superior. Vamos primeiro reescrevê-la como um limite e depois usar uma substituição linear para integrar a função (3x+1)^{-2}.

Passo 2

Reescrevendo como limite em R:
\int_{0}^{\infty} \frac{dx}{(3x+1)^{2}} = \lim_{R\to\infty}\int_{0}^{R}\frac{dx}{(3x+1)^{2}}.

Passo 3

Fazemos a troca de variável
u = 3x + 1, \quad du = 3\,dx \quad\Longrightarrow\quad dx = \frac{du}{3}.
Quando x=0, u=1; quando x=R, u=3R+1. Assim
\int_{0}^{R}\frac{dx}{(3x+1)^{2}} = \int_{1}^{3R+1}\frac{1}{u^{2}}\cdot\frac{du}{3} = \frac{1}{3}\int_{1}^{3R+1}u^{-2}\,du.

Passo 4

Sabendo que \displaystyle \int u^{-2}\,du = -\,u^{-1}, temos
\frac{1}{3}\int_{1}^{3R+1}u^{-2}\,du = \frac{1}{3}\Bigl[-u^{-1}\Bigr]_{1}^{3R+1} = \frac{1}{3}\Bigl(-\tfrac{1}{3R+1}-(-1)\Bigr) = \frac{1}{3}\Bigl(1-\tfrac{1}{3R+1}\Bigr).

Passo 5

Agora tomamos o limite R\to\infty. Como \tfrac{1}{3R+1}\to0, fica
\lim_{R\to\infty}\frac{1}{3}\Bigl(1-\tfrac{1}{3R+1}\Bigr) = \frac{1}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{3}

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