Lembrando que o comprimento do traçado de um gráfico de uma função f(x) no intervalo [a, b] é dado por \int_{a}^{b} \sqrt{1+\left(f^{\prime}(x)\right)^{2}} d x, calcule o comprimento da circunferência de raio r=1.

Passo 1

O enunciado pede o comprimento da circunferência de raio r=1 usando a fórmula do comprimento de gráfico de uma função
L=\int_{a}^{b}\sqrt{1+\bigl(f'(x)\bigr)^{2}}\,dx.
Para aplicar, dividimos a circunferência em duas metades que são gráficas das funções
f_{+}(x)=\sqrt{1-x^{2}} \quad\text{e}\quad f_{-}(x)=-\sqrt{1-x^{2}},
cada uma no intervalo [-1,1].

Passo 2

Vamos tratar a metade superior f(x)=\sqrt{1-x^{2}}. Primeiro calculamos a derivada:
f'(x)=\frac{d}{dx}\sqrt{1-x^{2}} =\frac{-x}{\sqrt{1-x^{2}}}.
Em seguida montamos o integrando:
\sqrt{1+\bigl(f'(x)\bigr)^{2}} =\sqrt{1+\frac{x^{2}}{1-x^{2}}} =\sqrt{\frac{1-x^{2}+x^{2}}{1-x^{2}}} =\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}.

Passo 3

O comprimento da metade superior é
L_{+}=\int_{-1}^{1}\frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}}.
Reconhecemos a primitiva de \tfrac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} como \arcsin(x), logo
L_{+}=\Bigl[\arcsin(x)\Bigr]_{-1}^{1} =\arcsin(1)-\arcsin(-1) =\frac{\pi}{2}-\Bigl(-\frac{\pi}{2}\Bigr) =\pi.

Passo 4

Como L_{+}=\pi é só a metade superior, a circunferência inteira tem comprimento
L=2\,L_{+}=2\pi.

Resposta

O comprimento da circunferência de raio 1 é 2\pi.

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