Primeira Questão (2,5pts): Considere a superfície obtida ao girarmos o segmento de reta que liga o ponto (0,4,1) ao ponto (0,2,4) em torno do eixo z.
(a) ( \mathbf{1 , 0} ponto) Parametrize a superfície, indicando o domínio dos parâmetros.
(b) ( 1,5 ponto) Encontre a equação do plano tangente à superfície no ponto \left(\sqrt{3}, \sqrt{6}, \frac{5}{2}\right).
Passo 1
O enunciado pede duas coisas distintas:
(a) Parametrizar a superfície obtida ao girar o segmento de reta que liga os pontos (0,4,1) e (0,2,4) em torno do eixo z, indicando o domínio dos parâmetros.
(b) Encontrar a equação do plano tangente à superfície no ponto \left(\sqrt{3},\sqrt{6},\tfrac{5}{2}\right).
Informações fornecidas (importantíssimas e que vou usar tal como estão):
Extremidades do segmento: (0,4,1) e (0,2,4).
O eixo de rotação é o eixo z.
Ponto onde se pede o plano tangente: \left(\sqrt{3},\sqrt{6},\tfrac{5}{2}\right).
Passo 2
Entendendo a superfície: o segmento está no plano x=0 (ou seja, no plano yz) e ao girá-lo em torno do eixo z cada ponto do segmento descreve um círculo em torno do eixo z. Isso gera uma superfície de revolução cujo raio (distância ao eixo z) é igual à coordenada y dos pontos do segmento (já que os pontos do segmento têm x=0 e coordenada y>0). Para parametrizar superfícies de revolução é padrão usar:
um parâmetro para percorrer o segmento (chamo aqui de u);
um parâmetro angular para a rotação (chamo de v).
Agora vou construir o ponto genérico do segmento e depois girá-lo.
Passo 3
Parametrização do segmento (sem rotação): parametrizo o segmento por u\in[0,1]. Tomando u=0 em (0,4,1) e u=1 em (0,2,4), a parametrização linear é
y(u)=4-2u,\qquad z(u)=1+3u.
Ou seja, cada ponto do segmento tem coordenadas (0,\,y(u),\,z(u)).
Agora giro esse ponto em torno do eixo z com o ângulo v\in[0,2\pi). A fórmula padrão para girar um ponto de raio r no plano xy é (r\cos v,\,r\sin v) nas coordenadas x,y. Aqui o raio é r=y(u)=4-2u. Assim a parametrização da superfície é (tomando (u,v) como parâmetros)
Explicando como obter o plano tangente: para uma superfície parametrizada por \mathbf{r}(u,v), os vetores tangentes na superfície são \mathbf{r}_u (derivada parcial em relação a u) e \mathbf{r}_v (derivada parcial em relação a v). O plano tangente em um ponto da superfície é o plano que passa por esse ponto e é gerado (espacialmente) por esses dois vetores tangentes. Um vetor normal à superfície pode ser obtido pelo produto vetorial
\mathbf{n}=\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v.
A equação do plano tangente no ponto (x_0,y_0,z_0) com vetor normal (A,B,C) é
A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0.
Vou aplicar esse procedimento no ponto pedido. Primeiro preciso achar os valores de u e v que dão o ponto \left(\sqrt{3},\sqrt{6},\tfrac{5}{2}\right).
Passo 5
Determinar (u_0,v_0) tal que \mathbf{r}(u_0,v_0)=\left(\sqrt{3},\sqrt{6},\tfrac{5}{2}\right).
Esses valores são consistentes (pois \cos^2 v_0+\sin^2 v_0=1), então (u_0,v_0)=\bigl(\tfrac{1}{2},v_0\bigr) é o parâmetro correspondente ao ponto; o valor explícito de v_0 não é necessário além das razões de seno e cosseno acima.
Calcular o vetor normal \mathbf{n}=\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v no ponto. Uso a fórmula componente a componente:
Se \mathbf{r}_u=(a_1,a_2,a_3) e \mathbf{r}_v=(b_1,b_2,b_3) então
Posso multiplicar por -1 (o normal pode ter sinal trocado sem alterar o plano) e simplificar fator 3, obtendo o vetor normal mais simples
\mathbf{n}'=(3\sqrt{3},\; 3\sqrt{6},\; 6).
Passo 8
Escrever a equação do plano tangente usando \mathbf{n}'=(A,B,C)=(3\sqrt{3},3\sqrt{6},6) e o ponto \left(\sqrt{3},\sqrt{6},\tfrac{5}{2}\right). A equação é