Primeira Questão (2,5pts): Considere a superfície obtida ao girarmos o segmento de reta que liga o ponto (0,4,1) ao ponto (0,2,4) em torno do eixo z.
(a) ( \mathbf{1 , 0} ponto) Parametrize a superfície, indicando o domínio dos parâmetros.
(b) ( 1,5 ponto) Encontre a equação do plano tangente à superfície no ponto \left(\sqrt{3}, \sqrt{6}, \frac{5}{2}\right).

Passo 1

O enunciado pede duas coisas distintas:
  • (a) Parametrizar a superfície obtida ao girar o segmento de reta que liga os pontos (0,4,1) e (0,2,4) em torno do eixo z, indicando o domínio dos parâmetros.
  • (b) Encontrar a equação do plano tangente à superfície no ponto \left(\sqrt{3},\sqrt{6},\tfrac{5}{2}\right).
Informações fornecidas (importantíssimas e que vou usar tal como estão):
  • Extremidades do segmento: (0,4,1) e (0,2,4).
  • O eixo de rotação é o eixo z.
  • Ponto onde se pede o plano tangente: \left(\sqrt{3},\sqrt{6},\tfrac{5}{2}\right).

Passo 2

Entendendo a superfície: o segmento está no plano x=0 (ou seja, no plano yz) e ao girá-lo em torno do eixo z cada ponto do segmento descreve um círculo em torno do eixo z. Isso gera uma superfície de revolução cujo raio (distância ao eixo z) é igual à coordenada y dos pontos do segmento (já que os pontos do segmento têm x=0 e coordenada y>0). Para parametrizar superfícies de revolução é padrão usar:
  • um parâmetro para percorrer o segmento (chamo aqui de u);
  • um parâmetro angular para a rotação (chamo de v).
Agora vou construir o ponto genérico do segmento e depois girá-lo.

Passo 3

Parametrização do segmento (sem rotação): parametrizo o segmento por u\in[0,1]. Tomando u=0 em (0,4,1) e u=1 em (0,2,4), a parametrização linear é
y(u)=4-2u,\qquad z(u)=1+3u.
Ou seja, cada ponto do segmento tem coordenadas (0,\,y(u),\,z(u)).
Agora giro esse ponto em torno do eixo z com o ângulo v\in[0,2\pi). A fórmula padrão para girar um ponto de raio r no plano xy é (r\cos v,\,r\sin v) nas coordenadas x,y. Aqui o raio é r=y(u)=4-2u. Assim a parametrização da superfície é (tomando (u,v) como parâmetros)
\mathbf{r}(u,v)=\bigl((4-2u)\cos v,\; (4-2u)\sin v,\; 1+3u\bigr).
O domínio dos parâmetros é
u\in[0,1],\qquad v\in[0,2\pi).

Passo 4

Explicando como obter o plano tangente: para uma superfície parametrizada por \mathbf{r}(u,v), os vetores tangentes na superfície são \mathbf{r}_u (derivada parcial em relação a u) e \mathbf{r}_v (derivada parcial em relação a v). O plano tangente em um ponto da superfície é o plano que passa por esse ponto e é gerado (espacialmente) por esses dois vetores tangentes. Um vetor normal à superfície pode ser obtido pelo produto vetorial
\mathbf{n}=\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v.
A equação do plano tangente no ponto (x_0,y_0,z_0) com vetor normal (A,B,C) é
A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0.
Vou aplicar esse procedimento no ponto pedido. Primeiro preciso achar os valores de u e v que dão o ponto \left(\sqrt{3},\sqrt{6},\tfrac{5}{2}\right).

Passo 5

Determinar (u_0,v_0) tal que \mathbf{r}(u_0,v_0)=\left(\sqrt{3},\sqrt{6},\tfrac{5}{2}\right).
Da coordenada z temos
1+3u_0=\tfrac{5}{2}\quad\Rightarrow\quad 3u_0=\tfrac{3}{2}\quad\Rightarrow\quad u_0=\tfrac{1}{2}.
Com u_0=\tfrac{1}{2} o raio é
4-2u_0=4-1=3.
Logo as coordenadas x,y devem ser
x=3\cos v_0=\sqrt{3},\qquad y=3\sin v_0=\sqrt{6}.
Daí
\cos v_0=\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{1}{\sqrt{3}},\qquad \sin v_0=\frac{\sqrt{6}}{3}.
Esses valores são consistentes (pois \cos^2 v_0+\sin^2 v_0=1), então (u_0,v_0)=\bigl(\tfrac{1}{2},v_0\bigr) é o parâmetro correspondente ao ponto; o valor explícito de v_0 não é necessário além das razões de seno e cosseno acima.
Resumindo:
u_0=\tfrac{1}{2},\qquad \cos v_0=\tfrac{\sqrt{3}}{3},\qquad \sin v_0=\tfrac{\sqrt{6}}{3}.

Passo 6

Calcular as derivadas parciais \mathbf{r}_u e \mathbf{r}_v e avaliá‑las em (u_0,v_0).
A parametrização é
\mathbf{r}(u,v)=\bigl((4-2u)\cos v,\; (4-2u)\sin v,\; 1+3u\bigr).
Derivando parcialmente:
\mathbf{r}_u(u,v)=\bigl(-2\cos v,\; -2\sin v,\; 3\bigr),
\mathbf{r}_v(u,v)=\bigl(-(4-2u)\sin v,\; (4-2u)\cos v,\; 0\bigr).
Agora avalio em u_0=\tfrac{1}{2} (onde 4-2u_0=3) e nas razões de seno/cosseno encontradas:
\mathbf{r}_u\bigl(\tfrac{1}{2},v_0\bigr)=\bigl(-2\cos v_0,\; -2\sin v_0,\; 3\bigr)=\bigl(-\tfrac{2\sqrt{3}}{3},\; -\tfrac{2\sqrt{6}}{3},\; 3\bigr),
\mathbf{r}_v\bigl(\tfrac{1}{2},v_0\bigr)=\bigl(-3\sin v_0,\; 3\cos v_0,\; 0\bigr)=\bigl(-\sqrt{6},\; \sqrt{3},\; 0\bigr).

Passo 7

Calcular o vetor normal \mathbf{n}=\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v no ponto. Uso a fórmula componente a componente:
Se \mathbf{r}_u=(a_1,a_2,a_3) e \mathbf{r}_v=(b_1,b_2,b_3) então
\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v=(a_2b_3-a_3b_2,\; a_3b_1-a_1b_3,\; a_1b_2-a_2b_1).
Aqui, com os valores numéricos:
a_1=-\tfrac{2\sqrt{3}}{3},\quad a_2=-\tfrac{2\sqrt{6}}{3},\quad a_3=3,
b_1=-\sqrt{6},\quad b_2=\sqrt{3},\quad b_3=0.
Calculando componentes:
n_x=a_2b_3-a_3b_2= \bigl(-\tfrac{2\sqrt{6}}{3}\bigr)\cdot 0 - 3\cdot\sqrt{3} = -3\sqrt{3},
n_y=a_3b_1-a_1b_3= 3\cdot(-\sqrt{6}) - \bigl(-\tfrac{2\sqrt{3}}{3}\bigr)\cdot 0 = -3\sqrt{6},
n_z=a_1b_2-a_2b_1= \bigl(-\tfrac{2\sqrt{3}}{3}\bigr)\cdot\sqrt{3} - \bigl(-\tfrac{2\sqrt{6}}{3}\bigr)\cdot(-\sqrt{6}).
Calculo detalhado de n_z:
\bigl(-\tfrac{2\sqrt{3}}{3}\bigr)\cdot\sqrt{3} = -\tfrac{2\cdot 3}{3} = -2,
\bigl(-\tfrac{2\sqrt{6}}{3}\bigr)\cdot(-\sqrt{6}) = \tfrac{2\cdot 6}{3} = 4.
Portanto
n_z = -2 - 4 = -6.
Assim o vetor normal é
\mathbf{n}=(-3\sqrt{3},\; -3\sqrt{6},\; -6).
Posso multiplicar por -1 (o normal pode ter sinal trocado sem alterar o plano) e simplificar fator 3, obtendo o vetor normal mais simples
\mathbf{n}'=(3\sqrt{3},\; 3\sqrt{6},\; 6).

Passo 8

Escrever a equação do plano tangente usando \mathbf{n}'=(A,B,C)=(3\sqrt{3},3\sqrt{6},6) e o ponto \left(\sqrt{3},\sqrt{6},\tfrac{5}{2}\right). A equação é
3\sqrt{3}\bigl(x-\sqrt{3}\bigr)+3\sqrt{6}\bigl(y-\sqrt{6}\bigr)+6\bigl(z-\tfrac{5}{2}\bigr)=0.
Dividindo ambos os lados por 3 para simplificar:
\sqrt{3}\bigl(x-\sqrt{3}\bigr)+\sqrt{6}\bigl(y-\sqrt{6}\bigr)+2\bigl(z-\tfrac{5}{2}\bigr)=0.
Expandindo os termos constantes (opcional, mas deixa a forma final limpa):
\sqrt{3}x-\underbrace{\sqrt{3}\sqrt{3}}_{=3}+\sqrt{6}y-\underbrace{\sqrt{6}\sqrt{6}}_{=6}+2z-5=0,
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\sqrt{3}x+\sqrt{6}y+2z-14=0.
Verificação rápida: substituindo x=\sqrt{3},y=\sqrt{6},z=\tfrac{5}{2} obtém‑se 3+6+5-14=0, então a equação está correta.

Resposta

(a) \displaystyle \mathbf{r}(u,v)=\bigl((4-2u)\cos v,\; (4-2u)\sin v,\; 1+3u\bigr),\quad u\in[0,1],\\ v\in[0,2\pi)
(b) \displaystyle \sqrt{3}\,x+\sqrt{6}\,y+2\,z=14

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