Ache o comprimento do arco formado pela curva
x=\frac{1}{8} y^{4}+\frac{1}{4} y^{2}
de y=1 até y=4.

Passo 1

O enunciado pede o comprimento do arco da curva dada por
x = \frac{1}{8}\,y^{4} + \frac{1}{4}\,y^{2}
para y variando de 1 até 4.
O conteúdo aqui é comprimento de arco de uma curva no plano quando x é função de y. Vamos usar a fórmula
L = \int_{y_{1}}^{y_{2}} \sqrt{1+\Bigl(\frac{dx}{dy}\Bigr)^{2}}\;dy.

Passo 2

Calcular a derivada \tfrac{dx}{dy}.
\frac{dx}{dy} = \frac{d}{dy}\Bigl(\tfrac{1}{8}y^{4} + \tfrac{1}{4}y^{2}\Bigr) = \frac{1}{8}\cdot 4y^{3} + \frac{1}{4}\cdot 2y = \frac{1}{2}\,y^{3} + \frac{1}{2}\,y = \frac{y\,(y^{2}+1)}{2}.

Passo 3

Substituir na fórmula de comprimento de arco:
1 + \Bigl(\tfrac{dx}{dy}\Bigr)^{2} = 1 + \Bigl(\tfrac{y\,(y^{2}+1)}{2}\Bigr)^{2} = \frac{4 + y^{2}\,(y^{2}+1)^{2}}{4} = \frac{y^{2}(y^{2}+1)^{2} + 4}{4}.
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L = \int_{1}^{4} \sqrt{1 + \bigl(\tfrac{dx}{dy}\bigr)^{2}}\;dy = \frac{1}{2}\,\int_{1}^{4} \sqrt{\,y^{2}(y^{2}+1)^{2} + 4}\;dy.

Passo 4

A integral
\frac{1}{2}\,\int_{1}^{4} \sqrt{\,y^{2}(y^{2}+1)^{2} + 4}\;dy
não se expressa em funções elementares simples, então vamos aproximar numericamente. Usando, por exemplo, o método de Simpson com passo h=0{,}5 obtém-se
\int_{1}^{4} \sqrt{\,y^{6} + 2y^{4} + y^{2} + 4}\;dy \approx 71{,}857
e portanto
L \approx \frac{1}{2}\times 71{,}857 = 35{,}9285.

Resposta

O comprimento do arco é dado por
L = \frac{1}{2}\int_{1}^{4} \sqrt{\,y^{2}(y^{2}+1)^{2} + 4}\;dy \approx 35{,}93.

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