Exercício 2. Ache a solução particular dos problemas de valor inicial (PVI) abaixo.
(h) y^prime x ln x=y, y(3)=ln (81)

Passo 1

O problema é um PVI em EDO de primeira ordem do tipo separável: temos
y'(x),xln x=y(x),
e a condição inicial é y(3)=ln(81). Vamos usar separação de variáveis para resolver.

Passo 2

Primeiro reescrevemos a derivada y' como dydx e isolamos as variáveis:
dydx,xln x=y Longrightarrow dyy=dxxln x

Passo 3

Agora integramos ambos os lados. No lado esquerdo temos
integral1y,dy=ln|y|+C1,
e no lado direito
integral1xln x,dx=ln|ln x|+C2
Juntando e absorbendo constantes, obtemos
ln|y|=ln|ln x|+C,
o que dá a solução geral
y=C'ln x,
onde C'=e^C.

Passo 4

Para achar a constante particular, usamos y(3)=ln(81)=4ln3. Substituindo na solução geral:
4ln3=y(3)=C'ln3 Longrightarrow C'=4

Resposta

y=4\ln x

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