Calcule as seguintes integrais impróprias ou mostre que divergem:
integral-infty^0 5^-x^2 x d x

Passo 1

A gente quer calcular a integral imprópria integral-infty^05^-x^2x,dx. O conteúdo envolvido é o de integrais impróprias e técnicas de integração de funções exponenciais. Para resolver, vamos usar a definição de limite e reconhecer uma primitiva via derivada de 5^-x^2.

Passo 2

Definimos a integral como limite de integrais próprias: integral-infty^05^-x^2x,dx=limRtoinftyintegral-R^05^-x^2x,dx. Se esse limite existir (e for finito), a integral converge.

Passo 3

Para encontrar a primitiva, note que ddx5^-x^2=-2xln 5,5^-x^2. Daí a gente isola x5^-x^2: x5^-x^2=-12ln 5ddx5^-x^2. Então uma primitiva de 5^-x^2x é -tfrac12ln 55^-x^2.

Passo 4

Agora avaliamos a integral de -R a 0 usando essa primitiva:
integral-R^05^-x^2x,dx=gl[-tfrac12ln 55^-x^2gr]-R^0=-tfrac12ln 5l(5^0-5^-R^2r)=-tfrac12ln 5l(1-5^-R^2r)

Passo 5

Como Rtoinfty, temos 5^-R^2to0. Logo o limite é -tfrac12ln 5(1-0)=-tfrac12ln 5.

Resposta

-\frac{1}{2\ln 5}

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