Calcule as seguintes integrais impróprias ou mostre que divergem:
Passo 1
A gente quer calcular a integral imprópria
. O conteúdo envolvido é o de integrais impróprias e técnicas de integração de funções exponenciais. Para resolver, vamos usar a definição de limite e reconhecer uma primitiva via derivada de
.
Passo 2
Definimos a integral como limite de integrais próprias:
. Se esse limite existir (e for finito), a integral converge.
Passo 3
Para encontrar a primitiva, note que
. Daí a gente isola
:
. Então uma primitiva de
é
.
Passo 4
Agora avaliamos a integral de
a
usando essa primitiva:
Passo 5
Como
, temos
. Logo o limite é
.
Resposta
-\frac{1}{2\ln 5}