Determine o volume do sólido de revolução obtido quando a região limitada por y=e^x, y=e^-x e x=1, gira em torno do eixo x=0.

Passo 1

O enunciado dá a região limitada pelas curvas y=e^x, y=e^{−x} e a reta x=1, e pede o volume do sólido gerado pela rotação dessa região em torno do eixo x=0. O conteúdo é cálculo de volume por cilindros e vamos precisar expressar o raio e a altura de um cilindro típico.

Passo 2

Pelo método dos cilindros (ou cascas cilíndricas), escolhemos uma faixa vertical em x∈[0,1]. Cada casca tem raio x e altura dada pela distância entre as curvas, que é e^x − e^{−x}. O volume elementar é dV = 2π·(raio)·(altura)·dx = 2π x (e^x − e^{−x}) dx.

Passo 3

Montamos a integral do volume:
V = 2pi integral0^1 xl(e^x - e^-xr),dx
Vamos separar em duas integrais e calcular cada uma por partes.

Passo 4

Para integral0^1 x e^x ,dx: escolhemos u=x e dv=e^x dx, então du=dx e v=e^x. Assim
integral0^1 x e^x ,dx = l[x e^xr]0^1 - integral0^1 e^x ,dx = (1cdot e - 0) - (e-1) = 1

Passo 5

Para integral0^1 x e^-x ,dx: escolhemos u=x e dv=e^{-x} dx, então du=dx e v= -e^{-x}. Assim
integral0^1 x e^-x ,dx = l[-x e^-xr]0^1 + integral0^1 e^-x ,dx = (-e^-1-0) + (1 - e^-1) = 1 - 2e^-1

Passo 6

Substituindo na integral de V e simplificando:
V = 2pi l(1 - (1 - 2e^-1)r) = 2pi cdot 2e = 4pie

Resposta

dfrac4pie

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