Determine o volume do sólido de revolução obtido quando a região limitada por
e
, gira em torno do eixo
.
Passo 1
O enunciado dá a região limitada pelas curvas y=e^x, y=e^{−x} e a reta x=1, e pede o volume do sólido gerado pela rotação dessa região em torno do eixo x=0. O conteúdo é cálculo de volume por cilindros e vamos precisar expressar o raio e a altura de um cilindro típico.
Passo 2
Pelo método dos cilindros (ou cascas cilíndricas), escolhemos uma faixa vertical em x∈[0,1]. Cada casca tem raio x e altura dada pela distância entre as curvas, que é e^x − e^{−x}. O volume elementar é dV = 2π·(raio)·(altura)·dx = 2π x (e^x − e^{−x}) dx.
Passo 3
Montamos a integral do volume:
Vamos separar em duas integrais e calcular cada uma por partes.
Passo 4
Para
: escolhemos u=x e dv=e^x dx, então du=dx e v=e^x. Assim
Passo 5
Para
: escolhemos u=x e dv=e^{-x} dx, então du=dx e v= -e^{-x}. Assim
Passo 6
Substituindo na integral de V e simplificando: