Determine o volume do sólido gerado quando a região limitada pela parábola y^2=4 a x e a reta x=a, gira em torno dessa reta.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno de x=a a região limitada pela parábola y^2=4ax e a reta x=a. O conteúdo é volume de revolução e vamos usar o método das cascas cilíndricas (ou método dos cilindros) integrando em x.

Passo 2

Primeiro, descrevemos a região em coordenadas: para cada x de 0 até a, o y varia de -2raizax até +2raizax. Assim, os limites de integração em x são de 0 a a.
No método das cascas cilíndricas, cada fatia vertical em x gera uma casca de raio igual à distância até o eixo x=a, ou seja, raio=a-x, e de altura igual à diferença entre as ordenadas superior e inferior:
a

Passo 3

A fórmula do volume pelo método das cascas é
V = integralx=0^a 2pi cdot (raio) cdot (a

Passo 4

Substituindo raio=a-x e a, temos
V = integral0^a 2pi,(a-x),4raizax,dx = 8pi integral0^a (a-x)raizax,dx

Passo 5

Para integrar, escrevemos raizax = raiza,x^1/2. Logo,
V = 8piraiza integral0^a l(a x^1/2 - x^3/2r)dx

Passo 6

Calculamos as antiderivadas:
integral a x^1/2dx = 2a3x^3/2, integral x^3/2dx = 25x^5/2

Passo 7

Avalia-se de 0 a a:
integral0^a l(a x^1/2 - x^3/2r)dx = 2a3a^3/2 - 25a^5/2 = 2a^5/2l(tfrac13-tfrac15r) = 415a^5/2

Passo 8

Multiplicando pelo fator externo:
V = 8piraiza cdot 415a^5/2 = 3215pi,a^3

Resposta

V = 3215pi,a^3.

Exercícios relacionados