Calcule as seguintes integrais impróprias ou mostre que divergem:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral imprópria
. O conteúdo envolvido é de integrais impróprias com singularidade no limite inferior e intervalo não limitado, e vamos precisar usar testes de convergência e uma substituição conveniente para resolver.
Passo 2
Primeiro, verificamos a convergência nos extremos. Quando
, temos
e a integral se comporta como
, que converge (p-teste com expoente
). Quando
, o integrando é equivalente a
e
também converge (expoente
).
Passo 3
Para calcular de fato, fazemos a substituição
. Assim, temos
[x = t^2 + 1, \quad dx = 2t,dt,]
[x^{-1} = \frac1{t^2+1}, \quad (x-1)^{-\tfrac12} = \frac1t,]
e os limites passam de e
. O integrando vira
[\frac1{t^2+1}\cdot\frac1t\cdot2t = \frac{2}{t^2+1}.]
[x = t^2 + 1, \quad dx = 2t,dt,]
[x^{-1} = \frac1{t^2+1}, \quad (x-1)^{-\tfrac12} = \frac1t,]
e os limites passam de
[\frac1{t^2+1}\cdot\frac1t\cdot2t = \frac{2}{t^2+1}.]
Passo 4
A integral se reduz a
[\int_{0}{\infty}\frac{2}{t2+1},dt = 2\Bigl[\arctan t\Bigr]_{0}^{\infty} = 2\Bigl(\frac\pi2 - 0\Bigr) = \pi.]
[\int_{0}{\infty}\frac{2}{t2+1},dt = 2\Bigl[\arctan t\Bigr]_{0}^{\infty} = 2\Bigl(\frac\pi2 - 0\Bigr) = \pi.]
Passo 5
Portanto, a integral imprópria converge e seu valor é
.