Calcule as seguintes integrais impróprias ou mostre que divergem:
integral1^+infty x^-1(x-1)^-12 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria integral1^+infty x^-1(x-1)^-12,dx. O conteúdo envolvido é de integrais impróprias com singularidade no limite inferior e intervalo não limitado, e vamos precisar usar testes de convergência e uma substituição conveniente para resolver.

Passo 2

Primeiro, verificamos a convergência nos extremos. Quando xto1^+, temos x^-1approx1 e a integral se comporta como integral1^1+epsilon(x-1)^-12dx, que converge (p-teste com expoente tfrac12<1). Quando xto+infty, o integrando é equivalente a x^-1(x)^-12=x^-32 e integral^infty x^-32dx também converge (expoente tfrac32>1).

Passo 3

Para calcular de fato, fazemos a substituição x-1=t^2. Assim, temos
[x = t^2 + 1, \quad dx = 2t,dt,]
[x^{-1} = \frac1{t^2+1}, \quad (x-1)^{-\tfrac12} = \frac1t,]
e os limites passam de x=1to t=0 e xtoinftyto ttoinfty. O integrando vira
[\frac1{t^2+1}\cdot\frac1t\cdot2t = \frac{2}{t^2+1}.]

Passo 4

A integral se reduz a
[\int_{0}{\infty}\frac{2}{t2+1},dt = 2\Bigl[\arctan t\Bigr]_{0}^{\infty} = 2\Bigl(\frac\pi2 - 0\Bigr) = \pi.]

Passo 5

Portanto, a integral imprópria converge e seu valor é pi.

Resposta

pi

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