Determine em que pontos as seguintes funções são contínuas:
f)
f)
Passo 1
A função é dada por
. Vamos estudar continuidade de uma função composta envolvendo a parte inteira (floor), que é descontínua nos inteiros, e divisão por
, que exige denominador não nulo. Precisaremos do domínio de definição, da constância em cada intervalo onde a parte inteira é fixa e do comportamento nos pontos inteiros.
Passo 2
Para achar o domínio, exigimos
. Como
exatamente para
, excluímos esse intervalo. Logo
[“Domínio: $(-\infty,0)\cup[1,\infty)$”]
[“Domínio: $(-\infty,0)\cup[1,\infty)$”]
Passo 3
Em cada intervalo
com
e
, temos
constante. Assim
[“Para ,\f(x)=\frac{\cos(n)}{n}\) é constante e, portanto, contínua em cada
,\para todo
.”
[“Para
Passo 4
Falta ver os pontos
,
. Analisamos limites laterais no domínio:
[“Limite à direita em : quando
mas próximo,
e portanto \lim_{x\to k^+}f(x)=\frac{\cos(k)}{k}=f(k).”
[“Limite à direita em
Passo 5
Limite à esquerda em
: quando
mas próximo e
ainda no domínio, então
e
["\lim_{x\to k^-}f(x)=\frac{\cos(k-1)}{k-1}."
["\lim_{x\to k^-}f(x)=\frac{\cos(k-1)}{k-1}."
Passo 6
Esses dois limites só coincidem se \displaystyle k\cos(k-1)=(k-1)\cos k, o que não ocorre para inteiros $k\le -1$. Além disso, para $k\ge1$ não existem pontos à esquerda em
, então o único limite relevante é o da direita, que bate com o valor de
.
Resposta
A função é contínua em cada intervalo aberto $n,n+1$ para todo inteiro \n\neq 0\), e nos pontos inteiros \k\ge 1\). Ela é descontínua em cada inteiro \k\le -1\), e não está definida em \[0,1\). Assim, o conjunto de continuidade é \bigcup_{n\in\mathbb{Z},n\neq0}(n,n+1)\cup\{1,2,3,\dots\}.