Determine em que pontos as seguintes funções são contínuas:
f) f(x)=cos([[x]])[[x]]

Passo 1

A função é dada por f(x)=dfraccos(lfloor xrfloor)lfloor xrfloor. Vamos estudar continuidade de uma função composta envolvendo a parte inteira (floor), que é descontínua nos inteiros, e divisão por lfloor xrfloor, que exige denominador não nulo. Precisaremos do domínio de definição, da constância em cada intervalo onde a parte inteira é fixa e do comportamento nos pontos inteiros.

Passo 2

Para achar o domínio, exigimos lfloor xrfloorneq 0. Como lfloor xrfloor=0 exatamente para xin[0,1), excluímos esse intervalo. Logo
[“Domínio: $(-\infty,0)\cup[1,\infty)$”]

Passo 3

Em cada intervalo (n,n+1) com ninZ e nneq0, temos lfloor xrfloor=n constante. Assim
[“Para xin(n,n+1),\f(x)=\frac{\cos(n)}{n}\) é constante e, portanto, contínua em cada (n,n+1),\para todo nneq0.”

Passo 4

Falta ver os pontos x=kinZ, kneq0. Analisamos limites laterais no domínio:
[“Limite à direita em k: quando x>k mas próximo, lfloor xrfloor=k e portanto \lim_{x\to k^+}f(x)=\frac{\cos(k)}{k}=f(k).”

Passo 5

Limite à esquerda em k: quando x mas próximo e x ainda no domínio, então lfloor xrfloor=k-1 e
["\lim_{x\to k^-}f(x)=\frac{\cos(k-1)}{k-1}."

Passo 6

Esses dois limites só coincidem se \displaystyle k\cos(k-1)=(k-1)\cos k, o que não ocorre para inteiros $k\le -1$. Além disso, para $k\ge1$ não existem pontos à esquerda em k<= -1, então o único limite relevante é o da direita, que bate com o valor de k>=1.

Resposta

A função é contínua em cada intervalo aberto $n,n+1$ para todo inteiro \n\neq 0\), e nos pontos inteiros \k\ge 1\). Ela é descontínua em cada inteiro \k\le -1\), e não está definida em \[0,1\). Assim, o conjunto de continuidade é \bigcup_{n\in\mathbb{Z},n\neq0}(n,n+1)\cup\{1,2,3,\dots\}.

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