Calcule as seguintes integrais impróprias ou mostre que divergem:
integral0^+infty cos (b x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria integral0^+inftycos(bx),dx. O conteúdo é integral imprópria de função oscilante e vamos precisar usar a definição de integral imprópria como limite de integrais de 0 a A quando Ato+infty.

Passo 2

Definimos a integral imprópria como o limite
integral0^+inftycos(bx),dx = limAto+inftyintegral0^Acos(bx),dx
Calculamos a integral indefinida de cos(bx):
integralcos(bx),dx = sin(bx)b, bneq0
Avaliamos de 0 a A:
integral0^Acos(bx),dx = sin(bx)b|0^A = sin(bA)b - 0 = sin(bA)b

Passo 3

Analisamos o limite quando Ato+infty. Como sin(bA) continua oscilando entre -1 e +1, o quociente sin(bA)/b não tende a nenhum valor fixo. Logo o limite não existe quando bneq0.
No caso b=0 a integral vira integral0^+infty1,dx, que também diverge para +infty.
Portanto, para todo valor real de b, a integral imprópria não converge, ou seja, diverge.

Resposta

A integral diverge para todo binR.

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